Le nom de théorème de Thébault ne correspond pas à un théorème précis, mais plutôt à une série de problèmes posés par le mathématicien français Victor Thébault (1882 - 1960).
Le problème de Thébault
Le problème de Thébault est un problème de géométrie euclidienne portant sur le parallélogramme. Il fut posé par Thébault en 1937 Roger B. Nelsen, Proofs Without Words II, MAA, 2000, . qui le démontra en 1938.
Ce théorème peut être considéré comme l'équivalent pour les quadrilatères du théorème de Napoléon qui concerne les triangles.
Démonstration La rotation de centre O et d'angle transforme C en D, B en D', le carré de côté [CB] a pour image le carré de côté [DA].
Donc N a pour image P, soit ON = OP et l'angle est droit. NOP est un triangle rectangle isocèle en O.
De même par la rotation de centre M et d'angle , le carré de côté [DA] a pour image le carré de côté [CB].
Donc P a pour image N ; MP = MN et le triangle NMP est rectangle isocèle en M.
MNOP a ses quatre angles droits et des côtés consécutifs égaux : c'est un carré.
Problème réciproque En 1952, Adriano Barlotti démontre la réciproque:
Le problème de Thébault
Le problème de Thébault est un problème de géométrie euclidienne portant sur le triangle équilatéral.
Démonstration par raisonnement géométrique dans le cas externe
Par construction on a et .
Comme alors les triangles et sont superposables.
Ces deux triangles étant isocèles, on a pour les angles à-la-base .
Ainsi .
Puisque et , le triangle est donc équilatéral.
Démonstration par raisonnement géométrique dans le cas interne
Par construction on a et .
Comme alors les triangles et sont superposables.
Ces deux triangles étant isocèles, on a pour les angles à-la-base .
Ainsi
Puisque et , le triangle est donc équilatéral.
Le problème de Thébault
Le problème de Thébault , aussi connu sous le nom de Théorème de Sawayama-Thébault, est un théorème de géométrie euclidienne portant sur l'alignement de trois points
La première démonstration connue a été réalisée en 1973 par le mathématicien néerlandais H. Streefkerk..
Jean-Louis Ayme a publié, en 2003, une solution purement synthétique de ce problème.. Il a également effectué des recherches historiques et a découvert que ce résultat avait été démontré en 1905 par Y. Sawayama., instructeur à l'école militaire de Tokyo.
Références
Voir aussi Liens externes (une démonstration géométrique du théorème )
Article connexe Théorème de van Aubel quand les carrés sont construits autour d'un quadrilatère quelconque
Thebault Catégorie:Quadrilatère