Un pseudo-carré est un quadrilatère convexe dont les diagonales sont de même longueur et orthogonales, c'est-à-dire à la fois équidiagonal et orthodiagonal. Le carré en est un cas particulier.
Propriétés
Le terme de pseudo-carré apparait en 1893 dans la question 878, du recueil de problèmes de Paul Mansion et Joseph Neuberg, Mathesis - Recueil mathématique à l'usage des écoles spéciales et des établissements d'instruction moyenneMathesis (2), III, p. 216:
Une solution à ce problème est proposée dans les volumes et (1895-1896) de cette même collection. Dans ce même volume, Henricus Hubertus van Aubel propose à la question 879 son théorème : les centres des carrés construits à l'extérieur d'un quadrilatère quelconque dessinent un pseudocarré.
Le carré circonscrit au pseudo-carré dont les côtés sont perpendiculaires aux diagonales a, comme exemplifié par la preuve sans mots de la figure ci-dessus, une aire deux fois supérieure à celle du pseudo-carré. Étant donné deux longueurs et , les quadrilatères convexes ayant et pour longueurs de diagonales ont une aire maximale (égale à ) lorsqu'ils sont orthodiagonaux. On en déduit que les quadrilatères de diamètre donné ont une aire maximale lorsqu'ils sont ortho- et équi-diagonaux, autrement dit des pseudo-carrés (voir à plus grand petit polygone). Si l'on trace à l'extérieur d'un quadrilatère convexe 4 carrés s'appuyant sur ses côtés, les centres de ces carrés forment un pseudo-carré (théorème de Van Aubel).
Notes et références
Liens externes
Les quadrilatères au collège, sur le site de Patrice Debart.
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