En mathématiques, en chimie ou en physique, un système dynamique est un système dont l'évolution dans le temps est décrite par une loi. Ce peut être l'évolution d'une réaction chimique au cours du temps, le mouvement des planètes dans le système solaire (régi par la loi universelle de la gravitation de Newton) ou encore l'évolution de la mémoire d'un ordinateur sous l'action d'un programme informatique. Formellement on distingue les systèmes dynamiques à temps discret (comme un programme informatique) des systèmes dynamiques à temps continu (comme une réaction chimique).
Un système dynamique est causal, c’est-à-dire que son avenir ne dépend que de phénomènes du passé ou du présent. Il peut être : déterministe, c’est-à-dire qu'à une « condition initiale » donnée à l'instant « présent » va correspondre à chaque instant ultérieur un et un seul état « futur » possible. Par exemple les systèmes modélisés par des équations différentielles ordinaires dont l'existence et l'unicité des solutions est vérifiée. stochastique, si son évolution est régie par une loi de probabilité. C'est le cas des systèmes décrits par des équations différentielles stochastiques. Bien que les deux termes soient souvent opposés, il existe des systèmes à la fois non stochastiques et non déterministes. Pour ces systèmes, une « condition initiale » donnée à l'instant « présent » donne à chaque instant ultérieur un ensemble d'états « futurs » possibles sans qu'aucune notion d'aléatoire ne soit pour autant mise en jeu. C'est le cas des systèmes modélisés par certaines équation différentielles ordinaires ne respectant pas le théorème de Cauchy-Lipschitz (le dôme de Norton en est un exemple en mécanique newtonienne), ou encore des systèmes modélisés par des inclusions différentielles.
Les systèmes déterministes pour lesquels on peut également décrire parfaitement tous les états passés à partir d'un état présent et de son futur sont appelés systèmes dynamiques réversibles.
Notion d'état dynamique Il faut faire attention au sens très particulier que prend la notion d’état pour la théorie des systèmes dynamiques. Un paradoxe de Zénon permet de présenter la difficulté. Zénon demandait : « Soit une flèche en vol. À un instant, est-ce qu’elle est au repos ou en mouvement ? » Si on répondait qu’elle est en mouvement, il disait « Mais être en mouvement, c’est changer de position. À un instant, la flèche a une position, elle n’en change pas. Elle n’est donc pas en mouvement. » Si on répondait qu’elle est au repos, il disait « Mais si elle est au repos à cet instant, elle est aussi au repos à tous les autres instants, elle est donc toujours au repos. Elle n’est jamais en mouvement. Mais comment alors peut-elle passer d’une position à une autre ? » Il en concluait qu’il n’est pas possible de dire des vérités sur ce qui est en mouvement. Tout ce qui est en mouvement serait par nature mensonger et il n’y aurait pas de vérités à propos de la matière mais seulement à propos des grandes idées, pourvu qu’elles soient immuables. Le sens commun est exactement inverse. On croit plus couramment à la vérité de ce qu’on voit qu’aux vérités métaphysiques. La théorie des systèmes dynamiques rejoint le sens commun sur ce point.
La notion d’état dynamique fournit une solution au paradoxe de Zénon : à un instant, la flèche est en mouvement, elle a une position mais elle est en train de changer de position, elle a une vitesse instantanée. Les nombres qui mesurent sa position et sa vitesse sont les valeurs de ses variables d’état. Les variables d’état sont toutes les grandeurs physiques qui déterminent l’état instantané du système et qui ne sont pas constantes a priori. On les appelle aussi les variables dynamiques. Si on prend une photo au flash, on ne voit pas que la flèche est en mouvement, mais on peut le détecter par d’autres moyens, par l’effet Doppler par exemple, sans avoir à mesurer un changement de position. L’état dynamique d’un système est un état instantané, mais c’est un état de mouvement. Il est déterminé par les valeurs de toutes les variables d’état à cet instant.
Espace des phases L'espace des phases est une structure correspondant à l'ensemble de tous les états possibles du système considéré. Ce peut être un espace vectoriel, une variété différentielle ou un fibré vectoriel, une variété algébrique, un corps de nombres, un espace mesurable…
Pour un système possédant n degrés de liberté, l'espace des phases du système possède n dimensions, de telle sorte que l'état complet du système à l'instant t est en général un vecteur à n composantes.
Système dynamique à temps discret, suite récurrente Dynamique discrète Un système dynamique discret (parfois dit temps-discret) est généralement défini par une suite récurrente, via une application bijective de l'espace des phases sur lui-même (on étudie aussi la dynamique d'applications non nécessairement bijectives, notamment en dynamique holomorphe). Elle opère de la façon suivante : étant donné une condition initiale de l'état du système, le premier état suivant est :
Le second état, qui suit immédiatement le premier, est :
et ainsi de suite, de telle sorte que le n-ième état est donné par :
Pour remonter dans le passé, il suffit d’inverser la fonction , ce qui est toujours possible pour une bijection.
Classification des dynamiques On distingue plusieurs grands types de dynamiques en fonction de la nature mathématique de l'espace des phases : lorsque est un espace topologique et l'application un homéomorphisme, on parle de dynamique topologique ; lorsque est une variété différentielle et l'application un difféomorphisme, on parle de dynamique différentielle ; lorsque est une variété analytique complexe et l'application est holomorphe, on parle de dynamique holomorphe ou dynamique complexe ; lorsque est un espace mesuré et une application qui préserve la mesure, on entre dans le domaine de la théorie ergodique, et on parle de système dynamique mesuré ; lorsque est un corps de nombres et l'application une fonction rationnelle, on parle de ; lorsque est une variété algébrique et l'application un morphisme, on parle de .
Exemples La fonction logistique
vignette|upright=2|Bifurcations de la fonction logistique. La fonction logistique est une application du segment [0, 1] dans lui-même qui sert de récurrence à la suite :
où n = 0, 1, … dénote le temps discret, l'unique variable dynamique, et r un paramètre réel compris entre 0 et 4Lorsque le paramètre r devient strictement supérieur à quatre, l'application sort de l'intervalle [0, 1]..
La dynamique de cette application présente un comportement très différent selon la valeur du paramètre r : Pour , le système possède un point fixe attractif, qui devient instable lorsque . Pour , l'application possède un attracteur qui est une orbite périodique, de période où n est un entier qui tend vers l'infini lorsque r tend vers 3,57… Lorsque , l'application possède un attracteur de Feigenbaum fractal (mais non étrange) découvert par Robert May en 1976 R.M. May, Nature 261 (1976), 459.. Le cas avait été étudié dès 1947 par Stanislas Ulam et John von Neumann S. Ulam et J. von Neumann, Bulletin of the American Mathematical Society, 53 (1947), 1120.. On peut dans ce cas précis établir l'expression exacte de la mesure invariante ergodique.
On obtient donc une succession de bifurcations de la régularité vers le chaos lorsque le paramètre augmente, résumée sur la figure ci-jointe.
L'application « chat » d'Arnold (1968) Le nom d'application « chat » provient d'un jeu de mots anglais intraduisible en français : en effet, « chat » se dit « » en anglais, et Vladimir Arnold utilisait ce mot comme acronyme de : « , littéralement : « automorphismes continus du tore ».
L'application « chat » Vladimir I. Arnold et André Avez, Ergodic Problems of Classical Mechanics, (1968) ; Réédition : Advanced Book Classics, Pearson Addison Wesley (mai 1989), ASIN 0201094061. est une application du carré [0, 1] × [0, 1] dans lui-même définie par :
où (mod 1) signifie : à un entier près. Cette condition entraine que le carré [0, 1] × [0, 1] voit ses bords recollés deux à deux pour former le « tore » du titre. Il s'agit d'un système dynamique conservatif, qui préserve la mesure de Lebesgue dx dy.
Cette application a des propriétés intéressantes qui permettent d'illustrer des concepts fondamentaux de la théorie des systèmes dynamiquesC'est l'un des exemples canoniques de ..
L'application de Hénon (1976) L'application de Michel Hénon Michel Hénon, A two-dimensionnal mapping with a strange attractor, Communication in Mathematical Physics 50 (1976), 69 James H. Curry, On the Henon transformation, Communication in Mathematical Physics 68 (1979), 129 est une bijection du carré [0, 1] × [0, 1] dans lui-même définie par :
où a et b sont deux paramètres, dont des valeurs typiques sont et . Avec ces valeurs, la dynamique présente un attracteur étrange de nature fractale, de type CantorAvec a = 1,3 et b = 0,3, l'attracteur étrange disparait totalement au profit d'un attracteur en forme d'orbite périodique, de période 7..
Hénon a obtenu ses équations en cherchant une version simplifiée du système dynamique de Lorenz à temps continu introduit en 1963 . Le système dynamique de Hénon n'est pas conservatif, car le jacobien de la transformation est constantCe type d'application polynomiale de jacobien constant est appelée « transformation entière de Cremona ». Cf. Wolfgang Engel, Ein Satz über ganze Cremona-Transformationen der Ebene, Mathematische Annalen 130 (1955), 11 et : Ganze Cremona-Transformationen von Primzahlgrad in der Ebene, Mathematische Annalen 136 (1958), 319. et vaut , qui est différent de l'unité dans les cas intéressants.
L'application de Hénon est aussi étudiée et généralisée en tant que système dynamique complexe (dans ).
Autres exemples L'application de décalage sur les suites binaires définie comme suit. L'espace dynamique est l'ensemble des suites de et de et l'application à itérer est l'application , dite de décalage (traduction du terme anglophone shift, parfois utilisé en français) qui décale la suite d'un cran vers la gauche : si est une suite de et de , est la suite . Ce modèle de système dynamique se généralise et son importance se trouve dans le fait qu'il résulte généralement du codage d'un système dynamique par une . La dynamique holomorphe sur le plan complexe . C'est dans ce cadre que l'on définit l'ensemble de Mandelbrot et les ensembles de Julia. La percolation.
Système dynamique à temps continu, système différentiel Depuis les travaux d'Isaac Newton (1687), l'idée que l'évolution temporelle d'un système physique quelconque est bien modélisée par une équation différentielle (ou ses généralisations à la théorie des champs, les équations aux dérivées partielles) est admise. Cette modélisation différentielle s'est depuis étendue avec succès à d'autres disciplines comme la chimie, la biologie, l'économie…
On considère typiquement un système différentiel du premier ordre du typeRappelons qu'une équation différentielle d'ordre n peut toujours se ramener à un système de n équations différentielles couplées d'ordre un. :
où la fonction f définit le système dynamique étudié (pour un système à n degrés de liberté, il s'agit à proprement parler d'un champ de vecteurs à n dimensions, c’est-à-dire, d'un point de vue prosaïque, un ensemble de n fonctions scalaires). La dérivée "temporelle" est parfois notée .
Problème de Cauchy
On se pose la question suivante, appelée problème de Cauchy : étant donné une condition initiale représentant l'état complet du système physique dans son espace des phases à un instant initial , trouver l'état complet du système dans son espace des phases pour tout instant ultérieur . La solution à ce problème fondamental réside dans le théorème de Cauchy-Lipschitz, qui assure (sous une hypothèse assez large) l'existence locale et l'unicité de la solution d'une équation différentielle.