vignette|upright=1.5|alt=nuage de points|Ce nuage de points représente 500 valeurs aléatoires iid simulées informatiquement. L'ordonnée d'un point est la valeur simulée suivante, dans la liste des 500 valeurs, de la valeur simulée pour l'abscisse du point.
En théorie des probabilités et en statistique, des variables indépendantes et identiquement distribuées sont des variables aléatoires qui suivent toutes la même loi de probabilité et sont indépendantes. On dit que ce sont des variables aléatoires iid ou plus simplement des variables iid.
Un exemple classique de variables iid apparait lors d'un jeu de pile ou face, c'est-à-dire des lancers successifs d'une même pièce. Les variables aléatoires qui représentent chaque résultat des lancers (0 pour face et 1 pour pile) suivent toutes la même loi de Bernoulli. De plus les lancers étant successifs, les résultats n'ont pas de lien de dépendance entre eux et ainsi les variables aléatoires sont indépendantes.
L'apparition de variables iid se retrouve régulièrement en statistique. En effet, lorsque l'on étudie un caractère sur une population, on réalise un échantillon : on sélectionne une partie de la population, on mesure le caractère étudié et on obtient ainsi une série de valeurs qui sont supposées aléatoires, indépendantes les unes des autres et qui sont modélisées par des variables aléatoires avec une loi de probabilité adaptée. Inversement, lorsque l'on récupère des données statistiques, des méthodes permettent de savoir si elles sont issues de variables iid.
Plusieurs théorèmes de probabilité nécessitent l'hypothèse de variables iid. En particulier le théorème central limite dans sa forme classique énonce que la somme renormalisée de variables iid tend vers une loi normale. C'est également le cas de la loi des grands nombres qui assure que la moyenne de variables iid converge vers l'espérance de la loi de probabilité des variables.
Des méthodes de calcul comme la méthode de Monte-Carlo utilisent des variables iid. Il est alors utile de savoir simuler informatiquement celles-ci ; ces valeurs simulées sont dites pseudo-aléatoires car obtenir des valeurs parfaitement iid est impossible. Les algorithmes utilisant la congruence sur les entiers ne donnent pas d'indépendance parfaite, on parle dans ce cas de hasard faible. En utilisant des phénomènes physiques, il est possible d'obtenir de meilleures valeurs pseudo-aléatoires, il s'agit de hasard fort.
Origines et explications Dans l'histoire des probabilités, les premiers raisonnements tels que le problème des partis au , ont été faits sur des jeux de hasard. Il est question d'un jeu en plusieurs parties ; même si le terme de variables indépendantes et identiquement distribuées n'est pas utilisé, il en est question : . Dans le problème du jeu de dés posé par le chevalier de Méré, il admet que .
C'est toujours au que Jérome Cardan, Pierre de Fermat et Christian Huygens utilisent la notion d'équiprobabilité, c'est-à-dire que certains événements ont la même probabilité d'apparaître, autrement dit que certaines variables suivent la même loi. La notion d'indépendance n'apparaît que plus tard avec Abraham de Moivre..
Dans les mêmes années, des questions se posent en démographie au sujet des rentes viagères. Ces questions statistiques s'appuient sur les travaux probabilistes naissants des jeux de hasard pour évaluer des valeurs des rentes. Leibniz considère ces questions comme analogues aux jeux de hasard, c'est-à-dire dans le cas d’événements indépendants et de même chance : les fréquences des décès sont considérées comme des valeurs de probabilité, la durée comme le gain dans un jeu contre la nature et les calculs sur plusieurs personnes se font par multiplication..
Ainsi les exemples du lancer du dé., du jeu de pile ou face. ou du tirage aléatoire avec remise de boules dans une urne sont des exemples classiques que l'on modélise par des variables indépendantes et identiquement distribuées. Pour ces trois exemples, chaque tirage ou lancer se fait dans les mêmes situations (même dé, même pièce ou même contenu de l'urne grâce au tirage avec remise), ainsi les résultats de chaque tirage suivent la même loi de probabilité. De plus les tirages ou lancers ne dépendent pas des résultats des tirages et lancers précédents (encore dû à la remise des boules), les variables aléatoires sont donc indépendantes.
En statistique, un échantillon est construit en des individus dans une population.. Le terme sous-entend l'hypothèse d'équiprobabilité, c'est-à-dire qu'à chaque tirage, les individus ont la même chance d'être prélevés, ce qui assure que les résultats du tirage sont de même loi. Pour avoir l'indépendance, le tirage peut être réalisé avec remise.. Dans le cas où la population totale est très grande ou considérée infinie, le fait de tirer avec ou sans remise ne modifie pas l'indépendance des résultats.
De tels résultats obtenus par plusieurs observations successives d'un même phénomène aléatoire sont appelés des échantillons aléatoires..
Définition
La désignation « indépendantes et identiquement distribuées » regroupe deux notions : l'indépendance et la loi de probabilité. L'indépendance est une propriété qui régit les relations des variables entre elles, tandis que la notion d'identiquement distribuée se réfère à la faculté de chacune des variables de suivre la même loi de probabilité que les autres variables de la suite. Des variables indépendantes et identiquement distribuées sont dites iid, i.i.d.. ou indépendantes et équidistribuées.
Intuitivement, dans le cas de variable aléatoire réelle, l'indépendance entre deux variables aléatoires signifie que la connaissance de l'une n'influe en rien sur la valeur de l'autre..
Donnons les cas particuliers de deux variables aléatoires discrètes ne pouvant prendre qu'un nombre fini de valeurs, et de deux variables aléatoires continues, c'est-à-dire possédant une densité de probabilité.
Une manière plus générale est de considérer les fonctions de répartition : les variables ont même loi si elles ont la même fonction de répartition et sont dites indépendantes. si pour tous réels où et sont les fonctions de répartition respectives du couple et des variables et . Cette définition se généralise pour variables aléatoires indépendantes, dites mutuellement indépendantes.
Plus mathématiquement, des variables iid sont supposées être définies sur le même espace., c'est-à-dire qu'il existe un espace probabilisé tel que chaque variable aléatoire est une fonction mesurable .
De manière plus générale, il est possible de considérer des variables aléatoires à valeurs non réelles, c'est-à-dire dans un espace mesurable général. Dans ce cas, chaque variable aléatoire est une fonction mesurable d'un espace probabilisé dans un espace mesurable. et . Ainsi, on dit que les variables et sont indépendantes et identiquement distribuées si : les événements et sont indépendants pour tous et , les mesures images et de par et par sont égales.
Ces définitions se généralisent au cas d'une famille quelconque finie, dénombrable ou infinie non-dénombrable de variables aléatoires.
Propriétés Les variables iid apparaissent dans beaucoup de situations et résultats statistiques et probabilistes car elles possèdent de nombreuses propriétés qui permettent de mieux étudier leur loi de probabilité ou leur somme notamment. Dans la suite de cette section, sont des variables réelles indépendantes et identiquement distribuées.
Si on note la densité de probabilité du vecteur et la densité commune des variables , alors : . Autrement dit, la fonction de densité d'un -uplet de variables iid est à variables séparables.
La somme de variables iid possède de bonnes propriétés ; donnons ici les principales. Si l'espérance commune des variables est et la variance commune est , alors la somme et la moyenne ont pour espérance et pour variance. : et , et .
Si on note la fonction caractéristique commune des variables et celle de la somme , alors .
La covariance et la corrélation de deux variables aléatoires indépendantes sont nulles : c'est-à-dire . Cependant une covariance nulle n'implique pas toujours l'indépendance des variables aléatoires.. Dans le cas où les variables sont les coordonnées d'un vecteur gaussien, leur indépendance est équivalente au fait que leurs covariances deux à deux soient nulles ..
Si et sont iid, alors. : .
Exemples de sommes de variables iid. Si sont iid de loi de Bernoulli de paramètre , alors. est de loi binomiale : . Si sont iid de loi géométrique de paramètre , alors. est de loi binomiale négative : . Si sont iid de loi de Poisson de paramètre , alors. est de loi de Poisson : . Si sont iid de loi exponentielle de paramètre , alors. est de loi Gamma : . Si sont iid de loi normale , alors. est de loi normale : . Si sont iid de loi normale de paramètre 0 et 1, alors. est de loi du χ² : . Si sont iid de loi du χ² de paramètre , alors. est de loi du χ² : .
Une généralisation de la notion de variables iid est celle de . : les variables aléatoires réelles sont dites échangeables si la loi de probabilité du n-uplet est la même que la loi de pour toute permutation . Autrement dit, la loi du n-uplet ne dépend pas de l'ordre des variables.
Si des variables réelles sont indépendantes et identiquement distribuées, alors elles sont échangeables. Il existe une réciproque partielle : des variables échangeables sont identiquement distribuées. Cependant, elles ne sont généralement pas indépendantes..
Le théorème central limite s'applique pour des variables iid, il existe des versions de ce théorème pour des variables échangeables..
En statistique La statistique est une science qui étudie et interprète les données. Lorsque l'on possède une série de données, la question se pose de savoir si elles peuvent être modélisées par des variables iid. Autrement dit : sont-elles des valeurs différentes obtenues de manière indépendante d'un même phénomène aléatoire. ? Les données peuvent être obtenues par mesures sur des individus ou objets qui doivent alors être choisis au hasard et avec remise; elles peuvent également provenir d'une simulation grâce à un générateur de nombres aléatoires : dans ce cas la graine du générateur doit être choisie aléatoirement et ne doit plus être changée après.
Il y a plusieurs méthodes pour tester l'indépendance des variables : la visualisation du corrélogramme (ou graphique d'autocorrélation), la visualisation du graphe de retard (Lag-plot) ou la réalisation de tests statistiques.
Visualiser le graphique d’autocorrélation vignette|Graphique d’autocorrélation. En haut : la série de données. En bas : la fonction d'autocorrélation. La fonction présente des variations positives et négatives, les données ne sont donc pas iid.
Dans le cas où la série est stationnaire, c'est-à-dire que les accroissements sont de covariance nulle, on peut s'intéresser à la fonction d'autocorrélation. (ACF). Elle est définie comme la corrélation entre la première valeur et la -ième valeur. Cette fonction permet d'évaluer si les données sont issues d'un modèle iid, elle est nulle si les données sont parfaitement iid.
Il est à noter que plus il y a de valeurs, plus la fonction d'autocorrélation est petite. En fait les valeurs de la fonction d'autocorrélation décroissent en fonction de la taille du nombre de données suivant le ratio .
Visualiser le graphe de retard Le graphique de retard (ou Lag-plot) est un nuage de points qui a pour abscisses les valeurs de la série de données et en ordonnées ces valeurs décalées de : en prenant l'indice modulo , c'est-à-dire en reprenant au début de la liste lorsque l'on arrive à la fin. Si un des nuages fait apparaître une tendance d'orientation, la série n'est pas considérée iid..