En mathématiques, le n-ième nombre de Cullen l'entier C := n2 + 1. Les nombres de Cullen furent étudiés en premier par le jésuite irlandais James Cullen en 1905 J. Cullen, « Question 15897 », Educ. Times, décembre 1905, .. Ils forment la suite d'entiers de l'OEIS : 1, 3, 9, 25, 65, 161, 385, omet C = 1..
Propriétés Tous les C pour n > 0 sont des nombres de Proth.
Presque tous. les nombres de Cullen sont composés ; les seuls nombres de Cullen premiers connus sont ceux correspondant aux seize valeurs suivantes de l'indice n : 1, 141, , , , , , , , , , , , , et (suite ). Cependant, on conjecture qu'il en existe une infinité d'autres.
Le plus grand nombre de Cullen premier connu est × 26679881 + 1. C'est un méganombre premier avec chiffres (en base dix) et il a été découvert en 2009 par un participant japonais du projet PrimeGrid..
Il découle du petit théorème de Fermat que si p est un nombre premier impair, alors p divise C pour , pour tout k ≥ 0.
Ce nombre p divise : si le symbole de Legendre est –1, c'est-à-dire si p est de la forme 8k ± 3 ; si le symbole de Legendre est +1, c'est-à-dire si p est de la forme 8k ± 1.
On ignore s'il existe un nombre premier p tel que C soit aussi premier.
Variantes Certains auteurs appellent « nombres de Cullen généralisés. » les nombres qui peuvent s'écrire sous la forme nbn + 1, où n + 2 > b.
Les nombres de Woodall sont quelquefois appelés « nombres de Cullen de deuxième espèce ».
Notes et références
Cullen