En théorie des groupes, le quotient d'un groupe est un groupe obtenu en identifiant des éléments équivalents dans un groupe plus grand. Par exemple, le groupe cyclique des entiers modulo n muni de l'addition peut être obtenu en identifiant les entiers égaux à un multiple de n près dans le groupe des entiers relatifs.

Plus généralement, à partir d'un groupe G et d'un sous-groupe H de G, on peut définir une loi de groupe sur l'ensemble G/H des classes de G suivant H, à condition que le sous-groupe H soit normal, c'est-à-dire que les classes à droite soient égales aux classes à gauche (gH = Hg).

Partition d'un groupe en classes modulo un sous-groupe

Étant donné un élément g de G, nous définissons la classe à gauche . Comme g possède un élément symétrique, l'ensemble gH a le même cardinal que H. De plus, tout élément de G appartient à exactement une seule classe à gauche de H ; les classes à gauche sont les classes d'équivalence de la relation d'équivalence définie par si et seulement si . Le nombre de classes à gauche de H est appelé l'indice de H dans G et est noté . Dans le cas d'un groupe fini, le théorème de Lagrange sur la cardinalité des sous-groupes, et la formule des classes permettent de voir que cet indice est fini et est un diviseur de l'ordre du groupe G.

Les classes à droite sont définies de manière analogue : . Elles sont aussi les classes d'équivalence pour une relation d'équivalence convenable et leur nombre est aussi égal à .

Définition

Si pour tout , alors le sous-groupe H est dit normal. Dans ce cas (et dans ce cas seulement), la loi de groupe de G est compatible avec ~, ce qui permet de définir une multiplication sur les classes par

.

Cela donne à l'ensemble quotient une structure de groupe ; ce groupe est appelé groupe quotient de G par H (ou parfois groupe des facteurs) et est noté G/H. L'application est alors un morphisme de groupes. L'image directe f(H) n'est constituée que de l'élément neutre de G/H, à savoir la classe . L'application f est appelée morphisme canonique ou projection canonique.

Les sous-quotients d'un groupe G sont par définition les quotients de sous-groupes de G. Les sous-groupes de quotients de G en font partie.

Exemples Considérons l'ensemble ℤ des entiers relatifs et le sous-groupe 2ℤ constitué des entiers pairs. Alors le groupe quotient ℤ/2ℤ est constitué de deux éléments (pour la relation de congruence), représentant la classe des nombres pairs et la classe des nombres impairs. L'ensemble ℝ des nombres réels, considéré comme groupe additif, et son sous-groupe 2ℤ permettent de définir un groupe quotient utilisé pour la mesure des angles orientés.

Propriétés G/G est un groupe trivial, c'est-à-dire réduit à l'élément neutre. Si {e} désigne le sous-groupe trivial de G, G/{e} est canoniquement isomorphe à G. Si H est normal, l'application de G dans G/H est un morphisme surjectif, appelé projection canonique de G sur G/H . Son noyau est H. Plus généralement, si f : G → G' est un morphisme de groupes, il existe une suite exacte : G → G'→ G'/Imf → 1. Si G est abélien, cyclique, nilpotent ou résoluble, il en sera de même pour G/H. Le produit C∙C de deux classes (défini ci-dessus en écrivant C sous la forme gH) coïncide avec l'ensemble des produits d'un élément de C par un élément de C. G/H est abélien si, et seulement si, H contient tous les éléments de la forme xyx-1y-1, où x,y appartiennent à G, autrement dit tous les commutateurs de G.

Factorisation des morphismes

On peut caractériser les groupes quotients par la propriété fondamentale suivante :

Histoire D'après Bourbaki, c'est chez Jordan que la notion de groupe quotient apparaît pour la première foisN. Bourbaki, Algèbre I, Chapitres 1 à 3, Paris, 1970, p. I.164. Voir aussi Dirk Schlimm, « On Abstraction and the Importance of Asking the Right Research Questions: Could Jordan Have Proved the Jordan-Hölder Theorem ? », Erkenntnis, vol. 68, No. 3, mai 2008, pp. 409-420, sommaire consultable sur JSTOR, selon qui Jordan utilise la notion de groupe quotient dans un article de 1873..

L'expression « quotient des groupes G et H » a été introduite en 1889 par Otto Hölder, qui proposait la notation G|H , consultable sur le site de l'université de Göttingen. (Référence donnée par )).

Notes et références

Articles connexes Anneau quotient Module quotient Présentation d'un groupe

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