En algèbre linéaire, le lemme des noyaux, aussi appelé théorème de décomposition des noyaux, est un résultat sur la réduction des endomorphismes. Dans un espace vectoriel E sur un corps commutatif K, si un opérateur u de E est annulé par un polynôme P(X) à coefficients dans K, alors ce lemme prévoit une décomposition de E comme somme directe de sous-espaces vectoriels stables par u. Ces derniers se définissent comme noyaux de polynômes en u et les projecteurs associés sont eux-mêmes des polynômes en u.
La démonstration traduit l'identité de Bézout portant sur les polynômes à des sous-espaces vectoriels. Résultat fondamental, le lemme des noyaux conduit à la décomposition de Dunford puis à la décomposition de Jordan. Plus modestement, le lemme des noyaux montre qu'un opérateur u est diagonalisable si et seulement s'il est annulé par un polynôme scindé à racines simples.
Ce lemme est également important en théorie des anneaux puisqu'il se généralise aussi avec des modules et qu'il est analogue au théorème des restes chinois.
Énoncé
Applications Le lemme des noyaux sert pour la réduction des endomorphismes. Par exemple :
Ce lemme est un résultat crucial de l'algèbre linéaire. Il permet de montrer les résultats les plus importants concernant la réduction d'endomorphismes, comme les critères de diagonalisabilité. Du résultat évoqué plus haut se déduit également le théorème de Décomposition de Jordan - Dunford.
Note
Catégorie:Algèbre linéaire Noyaux