En analyse des données, l'iconographie des corrélationsM. Lesty « Une nouvelle approche dans le choix des régresseurs de la régression multiple en présence d’interactions et de colinéarités » in Revue de Modulad, , janvier 1999, . est une méthode qui consiste à remplacer une matrice de corrélation par un schéma où les corrélations « remarquables » sont représentées par un trait plein (corrélation positive), ou un trait pointillé (corrélation négative).
Cette idée apparaît aussi dans les modèles graphiques gaussiens utilisés notamment en cartographie du génome. Mais l’iconographie des corrélations est plus générale en ce qu’elle ne fait pas d’hypothèse sur la distribution gaussienne, ou non, des variables, et repose uniquement sur l’aspect géométrique du coefficient de corrélation.
vignette|400px|Représentation de la proximité des profils alimentaires en Europe.
Historique
L’idée première de l’iconographie des corrélations remonte à 1975. Appliquée d’abord à la géochimie marine, elle fit l’objet d’une thèse d’état en 1981, et d’un article dans les Cahiers de l’Analyse des Données en 1982La Synthèse Géométrique des Corrélations Multidimensionnelles." M. Lesty et P. Buat-Ménard. Les Cahiers de l'Analyse des données, Vol.VII, , 1982, .. Après cela, l’application de la méthode dans de nombreuses branches de l’industrie aérospatialeM. Lesty et M. Coindoz. (1988) Une méthode pour la F.M.S. des bases de connaissances de système experts. Une application de CORICO. Colloque International de Fiabilité et de Maintenabilité. Textes des conférences, - Organisé par le Centre National d'Études Spatiales (C.N.E.S.), 3-7 octobre 1988, Strasbourg.Analyse des Corrélations et Fabrication des Composites. C. Vallée et X. Le Méteil. La Maîtrise du risque dans la Construction Aéronautique. Phoebus (tome 2) - trimestre 2001. pendant une quinzaine d’année, explique, paradoxalement, la relative confidentialité dans laquelle elle est restée longtemps, les entreprises ne souhaitant pas en général crier leurs solutions sur les toits. Depuis la création en 1997 d’une première société diffusant un logiciel basé sur l’iconographie des corrélations, et son enseignement dans certaines universités, la bibliographie s’est largement étendue, en particulier dans les secteurs médicalGeometric Method and Generalized Linear Models: Two opposite Multiparametric Approaches Illustrated on a Sample of Pituitary Adenomas. Lesty C., Pleau-Varet J. & Kujas M. Journal of Applied Statistics Vol 31(2): . February 2004. et astrophysique (spectrométrie de masseMulti-correlation analyses of TOF-SIMS spectra for mineralogical studies." C. Engrand, J. Lespagnol, P.Martin, L. Thirkell, R. Thomas. Applied Surface Science 231-232 (2004) 883-887Chemometric evaluation of time-of-flight secondary ion mass spectrometry data of minerals in the frame of future in situ analyses of cometary material by COSIMA onboard ROSETTA." Engrand C;, Kissel J., Krueger F.R., Martin P., Silén J., Thirkel L.l, Thomas R., Varmuza K. (2006). (Rapid Communications in Mass Spectrometry Volume 20, Issue 8 ) Published Online: 23 mars 2006 (www.interscience.wiley.com).).
Qu’est-ce qu’une corrélation « remarquable » ?
Une forte corrélation n’a pas de sens isolément. Réciproquement une faible corrélation n’implique pas l’absence de lien.
Exemple 1 Les variables A et C sont fortement corrélées parce que leurs variations sont toutes les deux liées à une variable X. En réalité il n’y a pas de lien AC, mais un lien XA et un lien XC. En d’autres termes, la corrélation entre A et C est redondante, et elle disparaît lorsque X est maintenu constant (on parle de « corrélation partielle » faible par rapport à X). D’où le schéma des seules corrélations remarquables :
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Exemple 2 La variable Y dépend de plusieurs variables C, D, E, F et G indépendantes. Aussi la corrélation de Y avec chacune d'entre elles, prise séparément, est faible (non « significative » au sens probabiliste du terme). En réalité, il existe les liens rigoureux CY, DY, EY, FY et GY. D’où le schéma des corrélations remarquables :
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Sélection des liens remarquables On considère un exemple simple : lors d’un contrôle mathématique d'un niveau de classe de , huit élèves de la à la terminale, dont on connait le poids, l'âge et l’assiduité, ont obtenu les notes suivantes :
+ Données originellesÉlèvePoidsÂgeAssiduitéNote e1 52 12 12 5 e2 59 12,5 9 5 e3 55 13 15 9 e4 58 14,5 5 5 e5 66 15,5 11 13,5 e6 62 1615 18 e7 63 17 12 18 e8 69 18 9 18
On obtient alors la matrice de corrélation + Matrice de corrélation PoidsÂgeAssiduitéNotePoids1Âge0,8851Assiduité-0,160-0,0591Note0,7740,8930,3831
On peut alors tracer le graphique suivant, en traçant un trait plein entre deux variables si leur corrélation est supérieure au seuil de 0,3 en valeur absolue.
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Au vu de ce schéma, la corrélation (poids,note) = 0,774, relativement forte, donne à penser que le poids a plus d’influence sur la note que l’assiduité. Mais, d’autre part, les corrélations (poids,âge) = 0,885, et (âge,note) = 0,893 sont plus élevées et cohérentes.
À partir de ces trois coefficients de « corrélation totale », la formule de la « corrélation partielle » donne : Corrélation (poids,note) à âge constant : = -0,08
La corrélation entre note et poids, à âge constant, a fortement baissé (elle est même légèrement négative). En d’autres termes, le poids n’a pas d’influence sur la note, ce qui est plus logique. On efface dont le lien entre poids et note :
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En définitive, un lien n’est pas tracé, soit parce que sa corrélation totale est inférieure au seuil, en valeur absolue, soit parce qu’il existe au moins une corrélation partielle inférieure au seuil, en valeur absolue, ou de signe contraire à la corrélation totale.
Il n’y a pas lieu, ici, d’effacer d’autres liens, comme on le vérifie à partir des valeurs des autres corrélations partielles : Corrélation (poids,note) à assiduité constante : = 0,92 Corrélation (âge,poids) à note constante : = 0,68 Corrélation (âge,poids) à assiduité constante : = 0,89 Corrélation (âge,note) à poids constant : = 0,71 Corrélation (assiduité,poids) à note constante : = -0,78 Corrélation (assiduité,poids) à âge constant : = -0,23 Corrélation (assiduité,note) à poids constant : = 0,81 Corrélation (assiduité,note) à âge constant : = 0,97 Corrélation (assiduité,âge) à poids constant : = 0,18 Corrélation (assiduité,âge) à note constante : = -0,97
Puisque le nombre de variables est m = 4, il y a m(m-1)/2 = 6 couples distincts de variables et, pour chaque couple, (m-2) = 2 coefficients de corrélation partielle.
On souligne ici une différence importante entre l’iconographie des corrélations et le modèle graphique gaussien : il apparait que l’iconographie des corrélations s’appuie sur (m-2).m.(m-1)/2 = 12 coefficients de corrélations partielles, calculés, chacun, par rapport à une seule variable, donc sans mélanger les effets de chacune d’elles. Au contraire le modèle graphique gaussien repose sur les seuls m.(m-1)/2 = 6 coefficients de corrélations partielles par rapport aux (m-2) autres variables. Il agrège donc une multiplicité de relations triangulaires et en retient une sorte de moyenne (matrice de corrélation partielle de chaque couple de variable par rapport à toutes les autres variables). Il perd la mise en évidence d’une variable particulière expliquant ou infirmant la relation entre deux variables.
L'iconographie des corrélations permet donc d’augmenter à la fois la quantité et la qualité de l’information utilisée.
Instants remarquables de l’analyse Les données disponibles permettent de pousser plus loin l’analyse.
On peut considérer en effet chaque ligne comme un « instant » de l’analyse, caractérisé par une variable indicatrice, égale à 1 à l’instant de la ligne considérée, et à 0 sinon :
ÉlèvePoidsÂgeAssiduitéNotee1e2e3e4e5e6e7e8 e1 52 12 12 510000000 e2 59 12,5 9 501000000 e3 55 13 15 900100000 e4 58 14,5 5 500010000 e5 66 15,5 1113,500001000 e6 62 1615 1800000100 e7 63 17 12 1800000010 e8 69 18 9 1800000001
Bien que les « instants » portent les mêmes noms que les élèves, il faut se rappeler que les élèves sont des lignes (des observations), tandis que les instants sont des colonnes, qui font partie des « variables », au même titre que les 4 premières colonnes.
On peut donc adopter le même critère de tracé des liens pour les « instants » et les variables originelles. Toutefois, pour ne pas alourdir le schéma, on dessinera ici seulement les « instants » liés à une variable au moins (« instants remarquables ») :
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Les « instants » sont représentés par un triangle, pour être mieux distingués des variables originelles, qui sont représentées par un carré'. Par rapport au schéma précédent, le lien entre note et assiduité a disparu, remplacé par les liens (Note,e6) et (Assiduité,e6) . Il était donc redondant : l’élève e6, très assidu et bien noté, explique à lui tout seul le lien (Note,Assiduité). L’élève e3 a une assiduité remarquablement forte, et l’élève e4 une assiduité remarquablement faible (trait pointillé).
Un lien est dit « remarquable » quand les autres liens présents sur la figure ne suffisent pas à l’expliquer. L’élève e6 a en effet une note « remarquable » : 18/20. Les élèves e7 et e8 qui ont, eux aussi, 18/20, ne sont pas remarquables : ils n’apparaissent pas sur le schéma, car, plus âgés, leur note est déjà expliquée par le lien (âge,note). De la même façon, on peut vérifier sur les données, que e5 a un poids remarquablement fort pour son âge (par rapport aux 8 élèves de la population étudiée) ; tandis que l’élève e1 à un poids remarquablement faible pour son âge.
Les liens entre carrés (variables-variables) soulignent les lois générales ; les liens carré-triangle (variable-instant) soulignent les événements rares.
Algorithme de l’iconographie des corrélations Si le tableau de données est petit, le principe de l’iconographie des corrélations est suffisamment simple pour permettre un tracé manuel. Sinon, il faut recourir à un programme comportant, en entrée, la matrice de corrélation et le seuil choisi (par exemple 0,3). En voici l’algorithme :
Pour éviter les redondances, le lien AB est tracé si et seulement si la corrélation totale r(A,B) est supérieure au seuil en valeur absolue, et si les corrélations partielles r(A,B), par rapport à une variable Z, sont supérieures au seuil, en valeur absolue, et de même signe que la corrélation totale, pour tout Z parmi les variables disponibles, y compris les « instants ».
Ce critère de tracé, sévère, garantit la sélection des liens les plus « solides ».
Les variables peuvent être quantitatives et/ou qualitatives (pourvu que ces dernières utilisent un codage disjonctif complet).
Position des points sur le papier L‘exemple ci-dessus a montré deux sortes de points : les variables (carrés), et les « instants » (triangles). Une fois trouvé les liens entre ces éléments, positifs (traits pleins) ou négatifs (traits pointillé), il reste à les dessiner sur le papier.
Toute latitude de positionnement est laissée à l’analyste, puisque l’interprétation dépend des liens et non des positions.
Autant que possible, il faut éviter les croisements inutiles entre liens, gênant la lecture. Le schéma suivant, par exemple, est moins lisible que le précédent, bien que l’interprétation soit la même (liens identiques) :
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Plusieurs approches peuvent être utilisées pour disposer les points de façon automatique.
Une première approche consiste à projeter le nuage de points des variables sur les deux premiers axes d’une analyse en composantes principales. Mais les projections ne sont pas toujours adaptées à une bonne lisibilité lorsqu’il y a beaucoup de composantes principales statistiquement significatives, et particulièrement en cas de mélange de variables qualitatives et quantitatives.