Le théorème du nid d'abeille précédemment connu sous le nom de conjecture du nid d'abeille (Honeycomb conjecture en Anglais), énonce que le pavage hexagonal régulier est la partition du plan en surfaces égales ayant le plus petit périmètre. Ce théorème fut démontré par Thomas Hales en 1999 T. C. Hales The Honeycomb Conjecture. 8 juin 1999 avec des révisions en 2001 T. C. Hales The Honeycomb Conjecture. Disc. Comp. Geom. v25, 1-22, 2001 .
Le nom de ce théorème vient de ce que les abeilles, qui doivent loger des larves dans des cellules de même taille en minimisant la quantité de parois à construire, ont en quelque sorte depuis longtemps résolu le problème : leurs alvéoles forment un pavage hexagonal régulier.
Historique Les premières traces écrites de ce problème mathématique se trouvent dans le livre V de Pappus, Reprenant en partie le traité de Zénodore Sur les figures isomorphes (environ 180 ; aujourd'hui perdu) dans son livre V, on ne sait pas qui de Pappus ou de Zénodore a le premier soulevé la question géométrique d'un pavage hexagonal.
Les pythagoriciens savaient déjà que seuls trois polygones réguliers sont capables de paver le plan : le triangle équilatéral, le carré et l'hexagone régulier. Observant les alvéoles d'abeilles, Pappus déclara que les abeilles l'utilisent car pour une quantité de matériau donnée, la forme hexagonale est celle des trois qui permet de renfermer le plus de miel. Implicitement il comparait les trois polygones réguliers, dont on peut relativement facilement démontrer que la pavage hexagonal est la solution la plus économique. Darwin l'évoqua également ; il pensait que le pavage hexagonal employé par les abeilles est le résultat d'une sélection naturelle où les abeilles qui utilisent le moins de cire l'emportentCharles Darwin, L’Origine des espèces [édition du Bicentenaire], trad. A. Berra sous la direction de P. Tort, coord. par M. Prum. Précédé de Patrick Tort, « Naître à vingt ans. Genèse et jeunesse de L’Origine ». Paris, Champion Classiques, 2009..
En 1781, L'Huilier écrivit dans ses mémoiresM. Lhuilier, Mémoire sur le minimum de cire des alvéoles des abeilles, Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Berlin, 1781 qu'il s'agissait là d'un des problèmes les plus difficiles de la géométrie. On retrouve ce sujet dans de divers ouvrages jusqu'au Thompson, On Growth and Form, Vol 2, second edition, 1952V. Willem, L'architecture des abeilles, 1928.
La résolution d'un cas particulier de ce théorème est attribuée à Hugo Steinhaus H. Croft, K. Falconer, R. Guy, Unsolved problems in geometry, Springer, 1991, mais le premier élément de réponse fut apporté en 1943 par le mathématicien hongrois László Fejes Tóth qui démontra le théorème sous l'hypothèse de convexité des tuiles du pavage. Il était persuadé que le théorème resterait vrai sans cette hypothèse mais ne parvint pas à le démontrer affirmant que cela soulèverait des "difficultés considérables" L. Fejes Tóth, Regular Figures,p183, MacMillan Company, 1964.
Ce n'est qu'en 1999 que Thomas Hales, s'appuyant sur les travaux de divers mathématiciens comme Frank Morgan F. Morgan, Soap bubbles in ² and in surfaces, Pacific J. Maths, 1994, Frederick J. Almgren Jr. F. J. Almgren Jr., Existence and regularity of almost everywhere of solutions to elliptic variational problems with constraints, Mem. AMS, 1976, ou Jean Taylor J. Taylor, The structure of singularities in soap-bubble-like and soap-film-like minimal surfaces, Annals of Mathematics, 1976 quant à l'existence d'une solution, démontre ce théorème.
L'analogue tridimensionnel, la conjecture de Kelvin, reste un problème ouvert.
Article connexe Conjecture de Kelvin Conjecture de Kepler
Références
Catégorie:Géométrie discrète Nid d'abeille Catégorie:Pavage