L'annuité constante est le remboursement périodique d'un emprunt avec les intérêts par un montant constant, qui est calculé en fonction du taux d'intérêt et de la durée de l'emprunt selon une formule mathématique. Une annuité constante peut désigner aussi à l'inverse un versement à intervalle régulier d'une même somme pour un placement échelonné.

L'annuité constante d'un emprunt

La formule du taux d'annuité constante étant la valeur du capital emprunté ou emprunt, le taux d'intérêt sur la période, n le nombre de périodes pour le remboursement La valeur de l'annuité constante versée par l'emprunteur est :

Le taux d'annuité constante est :

Exemple d'un échéancier Pour un prêt à remboursement par annuité constante de sur à un taux de 1.2 % (=160 000, n=5, =1.2%) : année année année année année totalannuités constantes33161,1633161,1633161,1633161,1633161,16165805,80amortissements31241,1631616,0531995,4532379,3932767,95160000intérêts19201545,111165,71781,77393,215805,80 L'amortissement étant la partie du prêt remboursée chaque année (annuité = amortissement + intérêt).

Comparaison avec un prêt à remboursement par amortissement constant de sur à un taux de 1.2 % : année année année année année totalannuités3392033536331523276832384165760amortissements constants3200032000320003200032000160000intérêts1920153611527683845760

Démonstration de la formule L'emprunteur doit verser l'annuité constante jusqu'à remboursement au temps prévu. Les intérêts sont calculés sur ce qui reste à rembourser multiplié par . Ils vont donc en s'amenuisant. Les remboursements de l'emprunt vont à l'inverse en augmentant.

Échéances Emprunt - Restant dû Intérêts Amortissements (Remboursements) Annuités 0 1 ⠇ ⠇ ⠇ ⠇ ⠇ ⠇ ⠇ ⠇ ⠇ ⠇

est donc une suite arithmético-géométrique que l'on peut par translation ramener à une suite géométrique :

Pour ,

On cherche tel que

cqfd.

La formule des remboursements

La suite est géométrique de raison ,

de terme

de n-ième terme La dernière annuité, le remboursement de l'emprunt est égal à l'emprunt résiduel d'où puis comme sur la note 1.

de k-ième terme

C'est la (les) formule(s) des remboursements.

Elles permettent également de calculer et

, somme d'une suite géométrique.

, idem.

Les annuités de placement

Calcul du capital à l'échéance À l'inverse des annuités constantes d'amortissement d'emprunt il existe les annuités de placement, par exemple pour les épargnants qui versent à intervalle régulier une même somme d'argent pour constituer à l'échéance un capital plus important avec des intérêts composés.

Pour le capital constitué on a similairement au remboursement de l'emprunt , ce qui permet de même de calculer l'annuité en fonction du montant du capital constitué visé en n périodes.

Périodes Annuités Capital constitué 0 1 ⠇ ⠇ ⠇ k ⠇ ⠇ ⠇ Le versement de la dernière annuité n'ayant évidemment pas de sens le capital constitué en n périodes est

Rappel sur le calcul des intérêts Si Ko est le capital initial, i le taux d'intérêt, n le nombre de périodes, I le montant à échéance des intérêts et Kn le montant du capital à l'échéance, l'intérêt simple au bout des n années est , la valeur acquise de .

Exemple : = , = 1 %, = 10 . Alors : = x 0,01 x 10 = , = (1 + 0,01 x 10) =

Pour un intérêt composé l'intérêt vient se greffer au capital majoré des intérêts passés :

Avec les mêmes données que l'exemple précédent on obtient : = x 1,0110 = 33 138,66

Références et notes Benjamin Legros, mini manuel de Mathématiques financières – Dunod , suites arithmético-géométriques , remboursement par annuités constantes Alain Planche, Manuel Mathématiques pour économistes, ed° – Dunod , suites arithmético-géométriques (parallèle avec équation différentielle ordre) Gérard Chauvat, Alain Cholet, Yves Bouteillet, Mathématiques BTS/DUT Analyse – EdiScience , suites arithmético-géométriques, point fixe Robert Maéso, André Philips, Christian Raulet, Comptabilité financière, comptabilité générale – Dunod 2017 (Formule sans démonstration). Dorothée Ansermino, Yves Virton (Auteur), La gestion pour les Nuls – Edition First-Gründ Paris (Formule sans démonstration).

Voir aussi Amortissement (finance) Emprunt (finance) Plan de remboursement Intérêt (finance)

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