Ne pas confondre avec la notion de Groupe d'homotopie.
En mathématiques, un h-groupe est un espace topologique pointé muni d'une multiplication (ou loi de composition interne) et d'une application dans lui-même (jouant le rôle d'inverse) satisfaisant des relations similaires à celles qui définissent les groupes mais à homotopieLa lettre « h » est l'initiale de l'anglais homotopy ou de Hopf, voir par exemple , p. 441. près.
Cette structure généralise ainsi à la fois celle de groupe topologique et celle de h-espace. Elle permet d'étudier certaines propriétés des espaces de lacets.
Définition Un h-groupe est un espace topologique pointé muni de deux applications continues : une « multiplication »
et une « inverse »
telles que le point de base est neutre pour la multiplication et invariant par l'inverse ; la multiplication par le point de base (à gauche comme à droite) est homotope à l'identité relativement au point de base ; la multiplication est associative à homotopie près relativement au point de base, c'est-à-dire que les applications suivantes sont homotopes relativement au triplet : ; la multiplication (à gauche comme à droite) de l'identité par l'inverse est contractile au point de base.
Exemple fondamental Pour tout espace topologique , son espace des lacets est un h-groupe pour la concaténation des lacets (éventuellement normalisée si l'espace source des lacets est le segment ).
Propriétés L'ensemble des applications continues d'un espace topologique vers un h-groupe forme lui-même un h-groupe. L'ensemble des composantes connexes (par arcs ou non) d'un h-groupe est un groupe. L'ensemble des classes d'homotopie d'applications d'un espace topologique vers un h-groupe forme donc un groupe.
Voir aussi H-cogroupe
Notes et références
Catégorie:Théorie de l'homotopie