thumb|Joseph-Louis Lagrange établit de manière rigoureuse les propriétés des fractions continues des irrationnels quadratiques.
En mathématiques, et plus précisément en arithmétique, la fraction continue d'un irrationnel quadratique correspond à la représentation de ce nombre sous la forme
.
Si le nombre irrationnel représenté est quadratique, c'est-à-dire s'il est solution d'une équation du second degré à coefficients rationnels, alors la suite d'entiers (an) est périodique à partir d'un certain rang.
L'intérêt de l'étude de la fraction continue d'un irrationnel quadratique ne se résume pas à cela. La simplicité de l'algorithme permettant de déterminer les coefficients de la fraction en a fait pendant longtemps une méthode d'extraction de racine carrée. La connaissance de la fraction continue permet, aussi, entre autres, de résoudre la célèbre équation diophantienne dite de Pell-Fermat : .
Préambule Introduction sur un exemple On cherche à calculer la fraction continue de , qui vaut environ 3,605 et un irrationnel quadratique, car solution de l'équation . Pour calculer la fraction continue, on utilisera l'identité remarquable à chaque étape :
et .
En appliquant le même algorithme sur x1 :
et ainsi :
On calcule de la même façon :
on continue ainsi et on calcule les termes suivant du développement jusqu'à :
enfin :
Le vocabulaire et les notations utilisés ici sont ceux définis dans l'article « Fraction continue » : le quotient partiel an est la partie entière du quotient complet xn, sa partie fractionnaire étant 1/x. La réduite d'indice n désigne la fraction continue tronquée contenant n barres de fraction et construite à l'aide de n + 1 coefficients ; elle est notée hn/k. Si l'on remplace an–1 par an–1 + 1/xn dans l'expression de la réduite d'indice n – 1, on obtient exactement le nombre initial. Le quotient complet x0 est la valeur initiale.
Dans l'exemple choisi, .
Cette notation étant un peu lourde, on utilise de préférence la suivante, ayant la même signification : .
Enfin, le quotient complet est égal à , ce qui permet de conclure que la suite des coefficients se répète à partir du rang 1. On parle de suite « périodique à partir d'un certain rang » et l'on utilise la notation : ,
la barre signifiant une répétition à l'infini de la suite finie d'entiers qu'elle couvre.
Éléments d'histoire thumb|Pierre de Fermat est à l'origine du défi lancé aux mathématiciens qui est à l'origine d'un large développement du savoir sur les fractions continues des irrationnels quadratiques. Dès le , Aryabhata (476-550), un mathématicien indien, utilise les fractions continues pour obtenir des rationnels proches de racines carrés d'entiersGeorges Ifrah, Histoire universelle des chiffres : L'intelligence des hommes racontée par les nombres et le calcul, Robert Laffont, 1994 .. Si Brahmagupta (598-668), un autre mathématicien indien, s'intéresse à l'équation de Pell-Fermat et utilise une identité remarquable pour la résoudre, il faut attendre le et Bhāskara II pour voir une approche analogue à celles des fractions continues appliquées à cette équation. Son algorithme, la méthode chakravala, correspond à celui de l'article, à la différence près que a0 n'est pas toujours inférieur au nombre à approcher. Cette différence est reportée à tous les coefficients an, qui peuvent devenir négatifs. Cette spécificité accélère un peu la recherche de la solution.
Ce n'est que plus tard que l'Europe s'intéresse à une démarche de cette nature. Il faut attendre le pour que Rafael Bombelli fasse usage d'un ancêtre des fractions continues pour le calcul d'approximations de la racine carrée de 13.. Pietro Antonio Cataldi comprend la portée de la méthode de Bombelli et l'applique à toutes les racines carrées, dans un petit opuscule à ce sujet., il choisit l'exemple de la valeur 18. On retrouve des résultats de même nature chez Albert Girard Leonard Eugene Dickson, Diophantine analysis, AMS Bookstore, 1999 , , . en 1625, puis 1634, pour approcher et .
À la suite d'un défi lancé par Pierre de Fermat en 1657, William Brouncker, trouve de manière empirique les relations qui relient la fraction continue d'un irrationnel quadratique à l'équation de Pell-Fermat. Il est probable que Bernard Frénicle de Bessy connaissait aussi cette méthode pour résoudre l'équation de Pell-Fermat dont il trouve toutes les solutions pour n plus petit que 150, mais ces travaux ont été perdus ; il défie Brouncker de trouver une solution à l'équation pour n = 313. Dans sa réponse, ce dernier indique qu'il ne lui a pas fallu « plus d'une heure ou deux pour la trouver ». Cette réponse est la suivante :
Ces informations proviennent d'une intense relation épistolaire entre les différents acteurs, qui est finalement publiée par John Wallis en 1658 John Wallis, Commercium epistolicum de quæstionibus quibusdam mathematicis nuper habitum Oxonii : Excudebat A. Lichfield, Impensis Tho. Robinson, 1658..
Le siècle suivant est celui des démonstrations. Leonhard Euler reprend les travaux de Brouncker et ceux de Wallis, et démontre rigoureusement tous les aspects un peu élémentaires de la théorie ; il montre aussi que si la représentation en fraction continue d'un nombre est périodique, à partir d'un certain rang, alors ce nombre est un irrationnel quadratique Leonhard Euler, Introductio in analysin infinitorum, 1748, vol. I (E101), chap. 18, § 379 .. Il faut encore attendre les travaux de Joseph-Louis Lagrange pour la démonstration d'une réciproqueJoseph-Louis Lagrange, Additions au mémoire sur la résolution des équations numériques, § II. — Sur la manière d'approcher de la valeur numérique des racines des équations, 1770, rééd. , plus précisément : Remarque II, p. 603-622. ainsi que des raisons de la validité de la méthode Bhāskara II ou de celle de BrounckerDivers résultats sont publiés dans les Additions de Lagrange aux Élémens d'algèbre par Léonard Euler, tome 2 : de l'analyse indéterminée, éd., Bruyset et Desaint, 1774, p. 379-658 + 662-664 et éd., Bruyset, 1798, p. 379-662 + 666-668, réédités dans : . Voir aussi , « Solution d'un problème d'arithmétique ».. Les propriétés de la fraction continue d'un irrationnel quadratique sont alors essentiellement élucidées ; il ne reste plus qu'à comprendre dans quel cas une fraction continue n'est pas simplement périodique à partir d'un certain rang, mais périodique pure, ce qu'Évariste Galois accomplit en 1828 sur bibnum, analysé par Norbert Verdier, Christian Gérini et Alexandre Moatti..
Période Tout irrationnel dont le développement en fraction continue est périodique est un irrationnel quadratique (a fortiori, ses quotients complets aussi). Exemple L'irrationnel est égal à avec . En remplaçant par dans cette équation puis en la simplifiant, on trouve .
Cette implication est au cœur de l'intérêt de la notion de fraction continue pour les irrationnels quadratiques car (plus d'un siècle après sa découverte) Lagrange a réussi à démontrer la réciproque :
Lagrange a même prouvé que pour un irrationnel quadratique de la forme (P + )/Q, les quotients partiels a sont majorés par 2 et la période par 2D. Des arguments plus fins..., basés sur la fonction diviseur, montrent que cette période est un grand O de .
Développement purement périodique La p-périodicité à partir d'un rang r du développement d'un irrationnel quadratique x s'écrit, avec la même notation que dans le préambule :
.
Certains nombres possèdent un développement purement périodique, c'est-à-dire dès le premier coefficient (r = 0). C'est le cas, par exemple, du nombre d'or φ. En effet,
.
La question se pose de savoir dans quel cas le développement en fraction continue est périodique pur. Le nombre x est nécessairement un irrationnel quadratique donc son polynôme minimal est de degré 2. La réponse — prouvée par Galois (alors qu'il était encore lycéen) mais déjà implicite dans le travail antérieur de Lagrange. — s'exprime en fonction du conjugué xc de x, qui est l'autre racine de son polynôme minimal :
Palindrome La propriété précédente permet d'obtenir une description plus précise du développement en fraction continue d'une racine d'un rationnel non carré :
Le palindrome que forme alors la période privée de son dernier terme 2a0 a un terme médian si et seulement si cette période est de longueur paire. Par exemple., = [3, ] et = [4, ].
La liste des développements en fraction continue des racines carrées des nombres de 2 à 165 est donnée dans. La liste des longueurs des périodes de ces développements est donnée dans .
Équation de Pell-Fermat Structure de la solution La fraction continue est une technique à la fois théorique et pratique pour résoudre l'équation de Pell-Fermat suivante, si d est un entier positif non carré :
.
Une solution est un couple (a, b) d'entiers tel que a – db soit égal à ±1. À part les solutions triviales (1, 0) et (–1, 0), toutes se déduisent de celles pour lesquelles a et b sont strictement positifs, en changeant le signe de a ou b. Trois propositions permettent ensuite de comprendre comment se structurent les solutions. Les deux autres seront généralisées et démontrées au § suivant. :
Des exemples de solutions sont données dans "Équation_de_Pell-Fermat#Fraction_continue".
Groupe des unités
En théorie algébrique des nombres, il est parfois important de connaître la structure du groupe des unités d'un anneau d'entiers algébriques. Cette situation se produit en particulier pour les anneaux d'entiers quadratiques. La compréhension de cette structure est utile, par exemple, pour démontrer le dernier théorème de Fermat pour n = 3 ou 5, ou pour établir la loi d'apparition des nombres premiers dans la suite de Fibonacci (cf. « Anneau des entiers de ℚ() »).
On est amené à chercher les éléments inversibles de l'anneau ℤ[ω] qui sont de la forme a + bω où ω est un entier quadratique et a et b des éléments de ℤ. On montre que cela revient à résoudre une des deux équations diophantiennes suivantes, où d est un entier non carré parfait et f un entier tel que 4f + 1 n'est pas un carré parfait :
.
La première pour d > 0 a déjà été étudiée. Puisque les solutions a + b avec a et b > 0 sont données, par ordre croissant des a, par les puissances de l'unité fondamentale h + k (où p est la période de ) et sont aussi, d'après ce qui précède, les h + k (pour q > 0), on a, le démontre directement, à l'aide des formules de récurrence sur les réduites et du fait que a = 2a. h + k = (h + k), ce qui offre un moyen de calculer directement cette sous-suite des réduites de , par la formule du binôme ou par récurrence.
La deuxième pour f > 0 est très similaire.
Soit .
donc l'équation (2) s'écrit :
.
Soit (a, b) un couple solution tel que b ≥ 1 et a + b/2 ≥ 0, on obtient d'une part
et d'autre part
.
Le minorant de droite est généralement strictement supérieur à 2 et l'on obtient alors la majoration suivante, qui montre que a/b est une réduite de α :
.
La seule exception survient lorsque d = 5 et b = 1 :
mais dans ce cas, a est égal à 0 ou 1, or 0/1 et 1/1 sont bien des réduites de ( – 1)/2 = φ – 1 = [0, ].
donc s'appliquent aussi bien à α = que (si d est congru à 1 modulo 4) à α = ( – 1)/2 :
Extraction d'une racine carrée Première méthode Les propriétés de la fraction continue d'un irrationnel quadratique permettent de calculer des approximations des racines carrées. La première technique consiste simplement à calculer les coefficients de la fraction continue puis ses réduites. Par exemple :
En utilisant que ou par calcul direct, comme dans .
Les réduites hn/kn se calculent par récurrence :
ce qui donne les approximations suivantes de :