thumb|Le mathématicien indien Âryabhata fait usage d'approximations diophantiennes construites à l'aide de fractions continues dès le , pour extraire des racines carrées.
En mathématiques, la fraction continue d'un irrationnel x fournit une approximation diophantienne de x. Plus précisément, la réduite d'indice n, c'est-à-dire la fraction limitée à n étapes, est un rationnel qui approxime x (par défaut si n est pair et par excès si n est impair). Réciproquement, si l'on considère une fraction continue infinie, c'est-à-dire une suite infinie (an) dont le premier terme a0 est un entier relatif et tous les suivants sont des entiers strictement positifs, la suite de ses réduites converge vers un irrationnel x dont la fraction continue est constituée des an.
Les fractions réduites hn/kn fournissent les meilleures approximations rationnelles d'un irrationnel x, au sens suivant : la réduite d'indice n est une approximation située à une distance de x inférieure à 1/kn2 et, si une fraction p/q est une approximation située à une distance de x inférieure à 1/(2q2) alors p/q est une réduite de x. Ce résultat porte le nom de théorème de meilleure approximation.
Les fractions continues sont utilisées pour approcher des irrationnels comme des racines carrées ou le nombre . Cette propriété permet de résoudre certaines équations diophantiennes comme celle de Pell-Fermat. Elle offre de plus une condition nécessaire et suffisante pour qu'un nombre soit rationnel, à l'origine de la première démonstration de l'irrationalité du nombre . Elle permet d'aller plus loin et ce sont les propriétés des approximations diophantiennes obtenues à l'aide de fractions continues qui permettent de construire les premiers nombres démontrés transcendants, puis de montrer que et sont transcendants.
Préambule Généralités
Les exemples les plus simples se trouvent au début de l'article Fraction continue, et concernent les rationnels. Un nombre rationnel x se représente de la manière suivante :
Les deux notations, avec des barres de fractions ou des crochets signifient la même chose. Si p est un entier inférieur à n, le terme ap, appelé coefficient ou quotient incomplet d'indice p, désigne un entier strictement positif sauf peut être a0 qui est un entier quelconque. La fraction qui s'arrête au terme ap est la réduite d'indice p et si 1/xp+1 est le complément à ajouter dans l'expression à ap pour obtenir la valeur exacte de x, alors xp+1 est appelé quotient complet d'indice p + 1, ce qui se traduit par l'égalité :
Ce concept ne se limite pas aux rationnels. Si x est un nombre irrationnel, la suite des coefficients est infinie et celle des réduites est alternée et converge vers x. Pour toute suite infinie d'entiers an, strictement positifs à l'exception éventuelle de a0 qui peut être négatif ou nul, la suite des réduites construites à l'aide des coefficients an converge vers un irrationnel dont la fraction continue est constituée des coefficients an. Un exemple simple de cette nature est proposé dans l'article Fraction continue d'un irrationnel quadratique. Un irrationnel quadratique est un irrationnel solution d'une équation du second degré à coefficients rationnels. La fraction continue d'un irrationnel est périodique à partir d'un certain rang, si, et seulement si, ce nombre est quadratique.
Quelques résultats utiles sont démontrés dans l'article détaillé. Si hn/kn désigne la réduite d'ordre n, on dispose des relations de récurrence suivantes :
ce qui montre que les numérateurs et les dénominateurs des réduites forment deux suites qui tendent vers l'infini. On dispose encore des résultats suivants :
En particulier (d'après la première forme de cette égalité) hn et kn sont premiers entre eux et (d'après la seconde) la suite des réduites converge.
Exemple : le nombre
thumb|Leonhard Euler scrute les propriétés des fractions continues pour montrer que e est irrationnel.
En 1737, Leonhard Euler calcule le développement en fraction continue du nombre , base du logarithme népérien (présenté en 1737). Une analyse historique est proposée par et par . Voir aussi . :
(la barre utilisée ici signifie une répétition à l'infini de la suite des entiers qu'elle couvre).
Il prouve ainsi que est irrationnel, puisque son développement en fraction continue est infini (il montre de même que est irrationnel).
Tenant à justifier son développement, Euler étudie l'équation de Riccati . Une solution est q(p) = coth(p/a), ce qui lui permet d'affirmer :
qu'il n'hésite pas à réécrire
(ce qui équivaut, par conversion, au développement de la fonction tangente hyperbolique qui sera établi rigoureusement par Lambert :
Ceci ne lui donne a priori un développement de qu'en fraction continue généralisée :
mais il a développé des techniques de conversion, consistant ici à intercaler deux 1 pour se débarrasser du 2 au premier numérateur et en faire une fraction continue simple :
ce qui, pour s = 1, démontre le résultat annoncé.
Une autre application qu'on pourrait y trouver serait d'obtenir une valeur approchée de . La réduite d'ordre 2 est égale à 2,75 et celle d'ordre 10 propose 7 chiffres significatifs. L'approche par la série entière donne cependant plus simplement une preuve d'irrationalité et des approximations ( l'article e (nombre)). Le développement en fraction continue permet d'aller un peu plus loin, puisqu'il prouve que n'est solution d'aucune équation du second degré à coefficients rationnels, car son développement en fraction continue n'est pas périodique. Ce type de démarche ne permet pas d'aller au-delà. De nouvelles idées sont nécessaires, par exemple, pour montrer la transcendance de .
Malgré ces limitations, les fractions continues qui offrent des suites rationnelles convergeant vers sont riches en informations sur la nature arithmétique de la limite. La suite de l'article montre, par exemple que si t est rationnel, alors t ne l'est pas. La démarche à l'origine de la preuve est celle qui a permis d'établir l'irrationalité de .
Fragments d'histoire . Avec la résolution de l'identité de Bézout, c'est la première motivation qui pousse à l'usage d'une telle notion. Âryabhata (476-550) l'utilise pour les deux usages et particulièrement pour extraire des racines carréesGeorges Ifrah, Histoire universelle des chiffres : L'intelligence des hommes racontée par les nombres et le calcul, Robert Laffont, 1994 ..
La propriété d'approximation des fractions continues est retrouvée accidentellement. sur la racine de 13 par Rafael Bombelli (1526-1572) puis généralisée. par Pietro Cataldi (1548-1626) à toutes les racines carrées. Leonhard Euler (1707-1783) développe l'aspect théorique de la méthode. Il montre que tout nombre réel admet un unique développement en fraction continue simple et qu'il est irrationnel si, et seulement si cette fraction continue est de longueur infinie. Il invente une méthode, maintenant connue sous le nom d'approximant de Padé pour déterminer celui de , ce qui est la première démonstration de son irrationalité. Jean-Henri Lambert (1728-1777) pousse plus loin l'exploration et montre que n'est pas non plus rationnel, par Alain Juhel..
L'usage d'une fraction continue comme approximation diophantienne pour étudier la nature arithmétique d'un nombre est établi. Le est celui d'une meilleure compréhension des nombres transcendants. Joseph Liouville en utilise une pour exhiber le premier nombre démontré transcendant. Si le savoir décrit dans cet article s'arrête là, l'histoire, elle, continue. Parmi les multiples progrès, on peut citer Charles Hermite qui établit. la transcendance de en 1873. Puis, à l'aide d'une méthode analogue, Ferdinand von Lindemann montre. en 1882 celle de .
Théorème de meilleure approximation rationnelle Un corollaire élémentaire du théorème d'approximation de Dirichlet est l'existence, pour tout irrationnel, de « bonnes » approximations rationnelles, avec des dénominateurs k arbitrairement grands et une précision en 1/k (par comparaison, une approximation décimale ne possède en général qu'une précision de l'ordre de 1/k) :
Pour un rationnel x, il n'existe évidemment qu'un nombre fini de telles fractions h/k. Ainsi, un irrationnel se caractérise par le fait qu'il s'approche « mieux » qu'un rationnel par une approximation diophantienne. En utilisant les réduites d'un irrationnel x, on peut expliciter une telle infinité de « bonnes » approximations de x, et diminuer le majorant 1/k en le divisant par 2 et même par . Un théorème de Hurwitz établit même que pour tout irrationnel x, il existe une infinité d'approximations h/k avec une erreur majorée par 1/(k) :
En revanche, le théorème de Thue-Siegel-Roth (affinant celui de Liouville) montre que lorsque l'irrationnel x est algébrique, et si grand que soit son degré, on ne peut pas améliorer l'exposant 2 : pour tout ε > 0, il existe une constante A > 0 telle que pour tout rationnel h/k, |x – h/k| ≥ A/k.
On parle aussi de « meilleure » approximation, en un sens différent, en considérant que h/k approche bien x lorsque kx – h est petit. Pour k fixé, la valeur minimum de |kx – h|, notée.. ║kx║, est atteinte pour h égal à l'entier le plus proche de l'irrationnel kx. Pour n ≥ 1, ║kx║ = |kx – h| et la suite des réduites approche x « de mieux en mieux », au sens où la suite des |kx – h| est strictement décroissante. De plus, k est le plus petit dénominateur k > k qui soit « meilleur » que k, c'est-à-dire tel que ║kx║ < ║kx║. C'est ce qu'expriment la définition et le théorème suivants, qui fournissent d'ailleurs une définition et un algorithme alternatifs pour le développement en fraction continue de x.
Une telle fraction approche donc mieux x que toute fraction de dénominateur plus petit, au sens particulier précisé ci-dessus et a fortiori au sens ordinaire : si 1 ≤ k' < k alors |k'x – h' | > |kx – h| donc
Dans toute la suite des démonstrations, x désigne un irrationnel M. Couchouron, Développement d'un réel en fractions continues, préparation à l'agrégation de mathématiques, université de Rennes I., n un entier naturel, an le coefficient d'indice n de x et hn/kn sa réduite d'indice n.
Toute réduite vérifie la majoration (1) : (cf. Fraction continue#Encadrement et convergence) et . Sur deux réduites consécutives, il en existe une qui vérifie la majoration (2) :Le nombre x se situe entre les deux réduites hn/kn et hn+1/kn+1, doncEn général, kn+1 est strictement supérieur à kn doncce qui démontre la majoration suivante :et la conclusion s'ensuit.Le cas exceptionnel kn+1 = kn ne peut survenir que si n = 0 et a = 1. On vérifie directement dans ce cas, de l'édition de 2008. que 0 < h/k – x < 1/(a + 1) ≤ 1/(2k). Sur trois réduites consécutives, il en existe une qui vérifie la majoration (3) :. Soient h et k deux entiers tels que 0 < k < k. L'inégalité suivante est vérifiée et l'égalité n'a lieu que si k = k et h = h :(en particulier : une fraction dont le dénominateur k vérifie k ≤ k < k est une meilleure approximation de x si et seulement si elle est égale à la n réduite).
La démonstration de ce théorème permet également de prouver la propriété suivante, utilisée pour l'étude des fractions continues périodiques..
Ces énoncés et leurs preuves s'adaptent au cas où x est rationnel, moyennant quelques précautions dans le cas où x est un demi-entier.
Nombres équivalents
Deux réels x et y sont dits équivalents. de l'édition de 2008. s'il existe des entiers a, b, c, d tels que ad – bc = ±1 et y = (ax + b)/(cx + d), autrement dit si une transformation de Möbius entière permet de passer de l'un à l'autre. Les classes d'équivalence sont donc les orbites de l'action du groupe PGL(2, ℤ) et l'orbite de 0 est l'ensemble des rationnels.
Serret a démontré. que deux irrationnels x et y, de fractions continues respectives [a, a, … ] et [b, b, … ], sont équivalents si et seulement s'il existe deux entiers naturels h et k tels que pour tout a = b...