La méthode de Bézout, imaginée et mise au point par Étienne Bézout en 1762, est une méthode générale de résolution des équations algébriques.
Cette méthode tente de ramener l'équation que l'on veut résoudre à d'autres équations de degré moins élevé. Cette méthode fastidieuse échoue de façon certaine pour les équations de degré supérieur ou égal à cinq qui ont un groupe de Galois non résoluble. Elle n'a un intérêt concret que pour les équations de degré 3.
Principe de la méthode On considère une équation de degré :
Soit une racine -ième primaire de l'unité.
On sait que les racines -ièmes de l'unité 1, , ,…, vérifient la relation :
La méthode de Bézout consiste à rechercher les racines de l'équation étudiée sous forme de combinaisons linéaires des racines -ièmes de l'unité.
Pour cela, on commence par éliminer entre les deux relations :
Ce qui donne une équation de degré en dont les coefficients sont des expressions dépendant de , , ,...,. En identifiant les coefficients de cette équation avec les coefficients correspondant de l'équation à résoudre, on obtient un système d'équations d'inconnues , , ,..., qui après résolution et report des différentes solutions dans :
donnera les solutions de l'équation à résoudre.
Application à la résolution des équations cubiques On considère l'équation suivante :
On note :
est l'une des racines cubiques de l'unité et vérifie donc :
On recherche les racines sous la forme :
L'idée est donc d'éliminer entre les deux dernières équations.
Les deux dernières équations se mettent sous la forme :
En faisant des produits membre à membre successifs et en remplaçant chaque fois celle des deux équations dont le degré par rapport à est le plus élevé par le résultat, on va baisser progressivement le degré des équations par rapport à jusqu'à ce que disparaisse de l'une des équations.
Un premier produit membre à membre donne :
Un deuxième produit membre à membre donne :
Un troisième produit membre à membre donne :
Un dernier produit membre à membre permet d'éliminer et fournit l'équation :
En identifiant les coefficients de cette équation avec les coefficients de l'équation qu'on veut résoudre, on obtient :
De la première équation on en déduit la valeur de que l'on reporte dans les autres équations, on obtient :
On retient la valeur de et on porte le produit dans la troisième équation, ce qui donne :
En élevant au cube les deux membres de la première équation, on obtient :
Ainsi, et sont donc les racines de l'équation :
Les deux racines de cette équation sont :
Les trois couples vérifiant :
sont donc :
En reportant dans les valeurs de trouvées, on obtient
ce qui, après simplification, donne
qui sont les trois racines de l'équation que l'on devait résoudre.
Autres méthodes de résolution d'équations Méthode de Tschirnhaus Méthode de Cardan Méthode de Ferrari Méthode de Descartes Méthode d'Hermite
Lien externe Texte de Bézout (1764) sur la résolution des équations algébriques, en ligne et commenté sur Bibnum
Catégorie:Équation polynomiale