vignette|100 visualisations d'une fonction de distribution empirique, générées à l'aide de JavaScript En statistiques, une fonction de répartition empirique est une fonction de répartition qui attribue la probabilité 1/n à chacun des n nombres dans un échantillon.
Soit un échantillon de variables iid définies sur un espace de probabilité , à valeurs dans , avec pour fonction de répartition F. La fonction de répartition empirique de l'échantillon est définie par :
où est la fonction indicatrice de l'événement A.
Pour chaque , l'application est une fonction en escalier, fonction de répartition de la loi de probabilité uniforme sur l'ensemble .
Pour chaque x, la variable aléatoire est une variable aléatoire de Bernoulli, de paramètre . Par conséquent, la variable aléatoire , qu'on notera , est distribuée selon une loi binomiale, avec pour moyenne et pour variance . En particulier, est un estimateur non-biaisé de .
Propriétés asymptotiques Par la loi forte des grands nombres, pour tout x, presque sûrement.
Par le théorème central limite, converge en loi vers une loi normale pour un x fixé. Le théorème de Berry–Esseen procure le taux de convergence. Par le théorème de Glivenko-Cantelli, presque sûrement, la convergence uniforme a lieu, ou bien, de manière équivalente :
presque sûrement. L' inégalité de Dvoretzky-Kiefer-Wolfowitz procure le taux de convergence. Kolmogorov a montré que converge en distribution vers la distribution de Kolmogorov, à condition que F soit continue. Le test de Kolmogorov-Smirnov de est basé sur ce fait. Par le théorème de Donsker, , en tant que processus indexé par x, converge faiblement dans vers un pont brownien B(F(x)).
Bibliographie
van der Vaart, A.W. and Wellner, J.A. (1996) "Weak Convergence and Empirical Processes", Springer. .
Catégorie:Statistiques Catégorie:Estimation (statistique)