vignette|Les entiers 3-adiques, avec des représentations obtenues par dualité de Pontriaguine. En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des nombres, pour un nombre premier fixé, les nombres -adiques forment une extension particulière du corps des nombres rationnels, découverte par Kurt Hensel en 1897. Le corps commutatif des nombres -adiques peut être construit par complétion de , d'une façon analogue à la construction des nombres réels par les suites de Cauchy, mais pour une valeur absolue moins familière, nommée valeur absolue -adique.
Un nombre -adique peut aussi se concevoir comme une suite de chiffres en base , éventuellement infinie à gauche de la virgule (mais toujours finie à droite de la virgule), avec une addition et une multiplication qui se calculent comme pour les nombres décimaux usuels.
La principale motivation ayant donné naissance aux corps des nombres -adiques était de pouvoir utiliser les techniques des séries entières dans la théorie des nombres, mais leur utilité dépasse maintenant largement ce cadre. De plus, la valeur absolue -adique sur le corps est une valeur absolue non archimédienne : on obtient sur ce corps une analyse différente de l'analyse usuelle sur les réels, que l'on appelle analyse -adique.
Historique et motivation Une construction algébrique de l'ensemble des nombres -adiques est découverte par Kurt Hensel en 1897., en cherchant à résoudre des problèmes de théorie des nombres par des méthodes calquant celles de l'analyse réelle ou complexePlus précisément, Hensel cherchait à étudier certaines propriétés arithmétiques des nombres algébriques à l'aide de séries formelles. . En 1914, József Kürschák développe le concept de valuation, obtenant une construction topologique de ces nombres, republié (avec ) dans .. En 1916, Alexander Ostrowski montre qu'il n'existe pas d'autre complétion de que et (résultat connu sous le nom de théorème d'Ostrowski). En 1920, Helmut Hasse redécouvre les nombres -adiquesIl était tombé par hasard chez un bouquiniste sur un livre de Hensel, qui l'avait tant fasciné qu'il décida de continuer ses études sous sa direction., et les utilise pour formuler le principe local-global.
Construction Approche analytique
Construction de ℚp par complétion
Fixons un nombre premier . La valuation -adique d'un entier relatif non nul (notée ) est l'exposant de dans la décomposition de en produit de facteurs premiers (c'est un cas particulier de valuation discrète). On pose . Par exemple, car la décomposition de 2662 en facteurs premiers est 2662 = 113 × 2. On étend cette valuation à en posant : . Cette définition ne dépend pas du représentant choisi pour le rationnel.
On définit la valeur absolue -adique sur l'ensemble par : (en particulier, : en quelque sorte, plus est divisible par , plus sa valeur absolue -adique est petite). Le corps valué des nombres -adiques muni d'une valeur absolue (encore notée ) est alors défini comme le complété du corps valué .
Quelques différences entre ℚp et ℝ Cette construction de permet de le considérer comme un analogue arithmétique de . Cependant, le monde -adique se comporte de façon très différente du monde réel. n'est pas un corps totalement ordonnable . Dans , la suite tend vers et la suite , pour premier différent de , n'a pas de limite (la suite n'a pas de limite non plus, d'ailleurs). Puisque la valeur absolue sur est définie à partir d'une valuation, la valeur absolue sur le complété est, elle aussi, ultramétrique, si bien que la distance associée est une distance ultramétrique.Ceci a pour conséquences, entre autres, que : dans , une série converge si et seulement si son terme général tend vers 0 ; l'espace topologique est de dimension 0 (c'est-à-dire qu'il possède une base d'ouverts-fermés) donc totalement discontinu (c'est-à-dire que chaque singleton est sa propre composante connexe) ; etc. Dans , si une suite converge vers un élément non nul, alors est constante à partir d'un certain rang. n'est pas fermé dans ( paragraphe suivant).
Constructions de ℤp est le corps des fractions de son anneau de valuation (les nombres -adiques de valuation positive ou nulle), noté et appelé l'anneau des entiers -adiques. Ce sous-anneau de est l'adhérence de . On aurait donc pu le construire directement comme l'anneau complété de .
Les valuations sur ℚ Ostrowski a démontré que toute valeur absolue non triviale sur est équivalente soit à la valeur absolue usuelle , soit à une valeur absolue -adique. est dite normalisée (on pourrait prendre pour un réel autre que : on obtiendrait une distance associée uniformément équivalente). L'avantage de la normalisation est la « formule du produit » pour tout rationnel non nul. Cette formule montre que les valeurs absolues sur (à équivalence près) ne sont pas indépendantes. Par exemple, pour : pour et .
Approche algébrique Dans cette approche, on commence par définir l'anneau intègre des entiers -adiques, puis on définit le corps des nombres -adiques comme le corps des fractions de cet anneau.
On définit. l'anneau comme la limite projective des anneaux , où le morphisme est la "réduction modulo ". Un entier -adique est donc une suite telle que pour tout : .
On démontre alors, . que cet anneau est isomorphe à celui construit dans l'« approche analytique » et l'est même en tant qu'anneau topologique, vu comme sous-anneau (compact) du produit des anneaux discrets .
Le morphisme canonique de dans est injectif car est le seul entier divisible par toutes les puissances de . Par exemple, 7 en tant que nombre 2-adique serait la suite (1, 3, 7, 7, 7, 7, 7, …).
Toute suite dont le premier élément n'est pas nul a un inverse dans car est l'unique élément premier de l'anneau (c'est un anneau de valuation discrète) ; c'est l'absence de cette propriété qui rendrait la même construction sans intérêt (algébrique) si l'on prenait pour un nombre composé. Par exemple, l'inverse de 7 dans est la suite (1, 3, 7, 7, 23, 55,...), où l'on remarque par exemple que 7×55 ≡ 1 mod 2. On peut remarquer que contient donc l'anneau obtenu en adjoignant à tous les inverses des nombres premiers sauf (ce sous-anneau est un anneau local, le localisé de en ).
Puisque de plus n'est pas un diviseur de zéro dans , le corps s'obtient en adjoignant simplement à l'anneau un inverse pour , ce que l'on note (anneau engendré par et , donnant les expressions polynomiales en , analogue de la construction des nombres décimaux ).
Calculs dans ℚp
Décomposition canonique de Hensel D'après ce qui précède, tout élément non nul de s'écrit de manière unique comme une série (automatiquement convergente pour la métrique -adique) de la forme :
où est un entier relatif et où les sont des nombres entiers compris entre et , étant non nul. Cette écriture est la décomposition canonique de comme nombre -adique. Elle se déduit immédiatement du cas , ., : si , la donnée des équivaut à celle des puisque . On peut donc représenter un entier -adique par une suite infinie vers la gauche de chiffres en base , tandis que les autres éléments de , eux, auront en plus un nombre fini de chiffres à droite de la virgule. Cette écriture fonctionne en somme à l'inverse de ce qu'on a l'habitude de rencontrer dans l'écriture des nombres réels.
Par exemple, avec :
(pour tout entier naturel, le développement 2-adique est simplement le développement en base 2) ; (dans , toute série géométrique de premier terme et de raison converge vers , car ) ; de même (puisque ) .
Algorithmes utilisant les décompositions de Hensel L'addition est tout à fait similaire à celle de , avec le même système de retenues :
Exemple : dans
On en déduit aisément une formule pour lopposé : puisque, dans , , c'est que dans . De même, (on peut vérifier que, puisque , ajouter à conduit à décaler une retenue tout le long de l'écriture, pour finalement donner 0).
La multiplication se fait de façon analogue :
Exemple 1 : dans
Exemple 2 : de même, dans , ce qui montre que .
La division de deux entiers demande une analyse plus algébrique.
Exemple 1 : Écrivons dans . Remarquons tout d'abord que car sa valuation 7-adique est 0. Ainsi avec .
3 est inversible modulo 7 puisque . Ceci permet d'ailleurs d'écrire la relation de Bézout suivante :
d'où : et à ce stade on a : .
Continuons et multiplions par -2 :
et arrangeons pour obtenir des coefficients entre 0 et 6 :
d'où : et on observe une périodicité puisqu'on retombe sur .
Au bilan : c'est-à-dire :
d'où l'écriture 7-adique : .
Exemple 2 : Écrivons dans . On sait que car sa valuation 7-adique est –1 : ce sera donc un nombre 7-adique « à virgule ».
On écrit :
Or on sait que donc en multipliant par 4 : .
Il ne reste plus qu'à diviser par 7, mais ceci revient à décaler la virgule vers la gauche (on est en base 7) : .
Exemple 3 : Calcul de dans . On sait (théorème d'Euler) que 9 divise , et de fait , et ; on a donc et finalement . La résolution d'équations algébriques utilise de manière essentielle le lemme de Hensel ; celui-ci affirme en particulier que si un polynôme à coefficients dans possède une racine simple dans , il en possède une dans . Ainsi, 2 admet deux racines carrées dans (à savoir 3 et 4) ; il en possède donc deux (opposées) dans . Partant de , la méthode de Newton appliquée au polynôme (c'est-à-dire la suite définie par ) donne , qui est dans une valeur approchée d'une racine de 2 à près ; on en déduit les valeurs approchées des racines, et ; on aurait pu aussi les obtenir chiffre par chiffre, en résolvant successivement les équations , d'où , puis , etc.... Plus généralement, si alors pour tous avec non divisible par , admet deux racines carrées dans . De même, avec premier quelconque, si et non divisible par alors le polynôme admet une racine dans . Puisque , ceci prouve que est un carré dans Pour une autre preuve, voir le lemme 1 de ..
Propriétés
Non-dénombrabilité Les ensembles et sont équipotents et non dénombrables. Plus précisément, ils ont la puissance du continu, car la décomposition de Hensel ci-dessus fournit une bijection de dans et une surjection de dans .
Propriétés algébriques Un nombre -adique est rationnel si, et seulement si, sa décomposition de Hensel est périodique à partir d'un certain rang., c'est-à-dire s'il existe deux entiers et tels que . Par exemple, l'entier -adique n'est pas dans .
Le corps contient donc sa caractéristique est nulle.
Il n'est cependant pas totalement ordonnable puisque est un carré dans .
Pour et premiers distincts, les corps et ne sont pas isomorphes, puisque n'est pas un carré dans (sa valuation -adique n'étant pas divisible par 2) mais est un carré dans si , exercice 2.6.1 (ii). Pour une variante, voir ou ..
La structure du groupe multiplicatif des « unités -adiques » (le groupe des inversibles de l'anneau ) et celle du groupe sont données par. : si , , et .
On en déduit que : un nombre -adique appartient à si et seulement si a une racine n-ième dans pour une infinité d'entiers nPour une preuve directe, voir par exemple ou .. Ceci permet de montrer ; . quele corps n'a pas d'automorphismes non triviaux ; pour , le groupe des racines de l'unité dans est cyclique d'ordre (par exemple, le corps cyclotomique est un sous-corps de ). On retrouve ainsi, au moins pour , que le corps n'est pas totalement ordonnable et, au moins pour , que, règle aussi cas , en calculant . Pour des variantes, voir . si et sont distincts alors et ne sont pas isomorphes.
La clôture algébrique de est de degré infini (contrairement à celle de , qui est une extension quadratique). Il existe d'ailleurs dans des polynômes irréductibles en tout degré : par exemple le polynôme d'Eisenstein , et même. un polynôme unitaire de degré n à coefficients dans et irréductible modulo . Ce degré est dénombrable, puisque c'est une extension algébrique, donc réunion de ses sous-extensions finies, lesquelles sont en nombre fini pour chaque degré d'après le lemme de KrasnerVoir par exemple , , th. 7.1, ou ..