En relativité restreinte, le principe de moindre action pour un point matériel donne des équations d'Euler-Lagrange très semblables à celles de la mécanique classique, mais le lagrangien n'est plus égal à la différence entre l'énergie cinétique et l'énergie potentielle. En fait, le principe de moindre action se base dans ce cas seulement sur l'existence d'une trajectoire continue, paramétrée par le temps, qui minimise une fonction ou la différence entre des fonctions du système étudié (on peut généraliser à un système de points), déterminées à partir de principes généraux, tels que par exemple :
Comme la trajectoire dans l'espace-temps ne dépend pas du référentiel par rapport auquel on l'observe, l'action qui la détermine, ainsi que les fonctions qui composent l'action, sont invariantes par changement de référentiel. L'indépendance de plusieurs corps implique l'additivité de leurs actions et de leurs lagrangiens, pour que les trajectoires puissent être déterminées séparément en appliquant la méthode variationnelle.
Il se trouve qu'en physique classique, ces fonctions du système sont les énergies cinétiques et potentielles, ce n'est plus le cas en relativité.
En physique relativiste, et en l'absence de champ électromagnétique, on montre que la fonction du corps qui est minimisée dans le principe est particulièrement simple : il s'agit de où est « temps propre » du trajet (temps s'écoulant dans le référentiel du corps au cours du trajet). Minimiser l'action revient à maximiser le « temps propre », du fait du signe , que la masse est positive et constante, et de la constance de la vitesse de la lumière . .
Un champ électromagnétique amène des différences de parcours entre les corps, suivant leurs charges et leurs répartitions. Et comme en physique classique, toutes les équations peuvent être obtenues sans le principe de moindre action.
Étude d'un point matériel
Formulation analogue à celle de la mécanique non relativiste
Point matériel isolé (corps libre)
En relativité restreinte, les corps évoluent dans l'espace-temps de Minkowski où chaque référentiel galiléen a ses coordonnées d'espace (repère généralement supposé cartésien orthonormé) et sa coordonnée de temps , subissant toutes une modification en cas de changement de référentiel galiléen.
Les coordonnées d'espace d'un point matériel sont ici souvent notées (où ), mais la comparaison avec la quadri-écriture nécessite une attention particulière car cette dernière utilise des indices écrits en haut (à ne pas confondre avec des exposants) puisque ce sont des quantités contravariantes.
On étudie ici le principe de moindre action sous la forme « classique » : , avec (où ).
De même qu'en mécanique non relativiste, l'homogénéité et l'isotropie de l'espace imposent que le lagrangien ne dépende que de la norme de la vitesse (ou son carré) : .
L'invariance par changement de référentiel galiléen impose que l'action soit un scalaire vis-à-vis de la transformation de Lorentz ; ceci suggère une expression de la forme : avec l'élément d'espace-temps , c'est-à-dire : avec .
♦ remarque : le minimum de l'action correspond ainsi à un mouvement dont la durée propre ( telle que ) pour le point étudié est extrémale.
Pour les faibles vitesses : devrait logiquement redonner la limite non relativiste : . Or, les lois qui s'en déduisent (équations d'Euler-Lagrange) sont inchangées si on ajoute au lagrangien la dérivée totale d'une fonction ne dépendant que de la position et du temps, donc en particulier pour une constante.
On peut donc considérer :
correspondant au lagrangien :
♦ remarque : par construction, ceci peut décrire une particule matérielle, mais la description d'un photon nécessite une étude plus approfondie.
Impulsion et énergie
Par définition l'impulsion relativiste correspond à : (où ) ; ainsi :
De même qu'en mécanique non relativiste, le hamiltonien peut être défini par : (il doit être exprimé en fonction de l'impulsion).
Il correspond à une énergie, constante pour tout système dont le hamiltonien (le lagrangien) ne dépend pas explicitement du temps :
En particulier, pour , lénergie au repos est .
♦ remarque : par différence, l'énergie cinétique correspond à : ; à l'approximation des faibles vitesses ; mais le lagrangien relativiste d'un point matériel isolé en diffère d'une constante.
Interaction avec un champ électromagnétique
L'expérience montre que les effets d'un champ électromagnétique peuvent être exprimés à l'aide d'un potentiel scalaire et d'un potentiel vecteur .
Ceci correspond à un quadri-potentiel utilisé ici uniquement pour expliquer la forme du terme d'interaction dans le lagrangien. Ce terme doit dépendre de la vitesse (les effets magnétiques en dépendent) et être invariant de Lorentz.
Pour généraliser un déplacement de coordonnées (avec ) on peut utiliser le quadri-déplacement .
On peut alors proposer de décrire l'interaction d'une particule de charge par un terme d'interaction proportionnel à : .
Afin de retrouver dans la limite des faibles vitesses et sans effet magnétique : avec , on considère ici le lagrangien :
On en déduit une impulsion généralisée : , soit en conservant la notation .
♦ remarque : on prendra donc soin de distinguer et .
De même que pour un corps libre, le hamiltonien peut être défini par : (il doit être exprimé en fonction de l'impulsion généralisée).
Il correspond à une énergie, constante pour tout système dont le hamiltonien (le lagrangien) ne dépend pas explicitement du temps :
Toutes les approximations aux petites vitesses devant redonnent les résultats classiques.
Équations du mouvement
Le mouvement est décrit par les équations d'Euler-Lagrange : .
Avec la notation gradient, ceci peut s'écrire sous la forme : , avec par ailleurs (puisque et sont des variables indépendantes) : avec la notation rotationnel.
En outre, puisque la particule se déplace, la variation de en un point fixe donné est : ; ceci donne finalement :
♦ remarque : certains calculs sont plus pratiques en fonction de mais d'autres sont plus simples en fonction de . ♦ remarque : attention à ne pas confondre l'énergie et le champ électrique .
Relation entre l'action et l'énergie impulsion
De façon générale : (où ).
Formulations quadrivectorielles
Notations
Avec les notations quadri-vectorielles, un point a des coordonnées d'espace-temps contravariantes avec . On note les indices quadri-vectoriels par des symboles grecs ; on utilise des indices latins pour désigner la partie spatiale des quadrivecteurs.
Nous adopterons la convention de sommation d'Einstein : sommation sous-entendue pour tout indice répété en haut et en bas : .
On note la matrice de la métrique permettant d'abaisser les indices (les termes non diagonaux sont nuls) : . Ainsi pour un quadri-vecteur on obtient : c'est-à-dire : et . On note la matrice inverse permettant d'élever les indices (les termes non diagonaux sont nuls) : .
En particulier pour deux quadri-vecteurs et , on définit le produit scalaire et la (pseudo)-norme : .
De manière similaire, on écrira : et .
Pour décrire le mouvement d'un point matériel, on peut continuer à paramétrer la quadri-position en fonction du temps : (dans ce cas est « inutile ») ; mais on peut aussi utiliser un autre paramètre, en particulier si on souhaite une formulation invariante de Lorentz.
On peut choisir de paramétrer par le temps propre ou selon l'élément d'espace temps tel que . Certains calculs formels sont toutefois moins évidents dans ce cas : il est alors possible de choisir un paramètre « quelconque », quitte à imposer ensuite ou .
Il existe toutefois, entre les notations non relativistes et les notations quadri-vectorielles, des différences de conventions de notations pouvant causer des confusions de signes. Il semble ne pas exister de consensus dans la communauté scientifique pour privilégier un choix particulier de notations (principalement parce que cela n'a pas d'influence sur les lois physiques qui s'en déduisent). Les différentes approches sont précisées dans ce qui suit.
Méthode se cantonnant aux propriétés de base
De nombreux physiciens définissent l'énergie-impulsion indépendamment du principe de moindre action et se limitent à utiliser les propriétés de base de ce dernier pour montrer comment les deux sont liés (par exemple S. Weinberg ; Gravitation and cosmology : « Il apparaît ... que les obéissent à ces équations du mouvement et nous concluons donc que cela qualifie l'expression utilisée pour l'action comme appropriée pour ce système » ).
♦ remarque : le principe de moindre action n'est en rien indispensable à l'établissement des lois physiques (il n'est qu'une façon, parfois pratique, de les décrire).
Compte tenu des détails indiqués dans les autres parties, on traite ici directement le cas avec champ électromagnétique (considéré comme imposé par l'extérieur).
Avec , l'action peut s'écrire : .
On peut utiliser : .
L'intégration par parties donne : .
Pour des nuls aux extrémités du mouvement : .
Pour des quelconques durant le mouvement, la condition d'extremum impose les équations du mouvement : . On obtient en particulier une quadri-vitesse constante pour un point matériel isolé : .
♦ remarque : on paramètre généralement par mais on peut ici en principe utiliser un paramètre « quelconque ».
♦ remarque : ici encore, la description d'un photon nécessite d'utiliser un autre paramètre car donc n'est pas défini ; en outre, la méthode doit être adaptée pour éviter qu'un terme (quel qu'il soit) proportionnel à apparaisse au dénominateur.
Formulation la plus simplement ressemblante à celle sans quadri-écriture pour un corps libre
Ce qui précède suggère qu'on peut raisonner en paramétrant par (ou par qui lui est proportionnel) et que le principe de Hamilton peut s'écrire à l'aide d'un lagrangien avec .
De nombreux physiciens utilisent alors : . Avec , l'action minimisée entre deux points de l'espace-temps montre que le chemin suivi par la particule pour aller du point A au point B est celui qui maximise le temps propre (le terme négatif transforme la minimisation de en maximisation de ).
Cette écriture peut sembler formelle dans la mesure où semble indiquer qu'on cherche l'extrémum d'une « constante » (fonction indépendante de la position et de la vitesse). En fait il faut distinguer la quadri-distance et le paramètre (ou ) utilisé.
Les quantités candidates pour définir la quadri-impulsion « conjuguée » semblent alors être (mais cela reste à préciser) : .
L'utilisation d'un autre paramètre aboutit au même résultat.
Or la comparaison avec la mécanique non relativiste (étayée par la description sans quadri-écriture) indique une énergie-impulsion ; le signe ne correspond pas. Raisonner avec une impulsion généralisée (ou l'analogue pour les composantes covariantes ; la métrique n'influence pas les équations) semble au moins contre-intuitif.
Rien toutefois n'interdit de raisonner avec les quantités , même s'il peut devenir ambigu de continuer à les nommer "impulsions" (mais cette habitude est ancrée depuis longtemps).
C'est d'ailleurs le choix de certains physiciens comme Cornelius Lanczos (The Variational Principles of Mechanics).
Puisque le lagrangien d'un point matériel isolé est indépendant de la position, les équations d'Euler-Lagrange donnent alors pour lois du mouvement : (constantes du mouvement).
Le carré de la "norme" de cette quadri-impulsion est en outre : , donc conforme à la relation usuelle : .
Le hamiltonien correspondant (à ne pas confondre avec celui de la formulation non quadrivectorielle) peut être défini par : . Écrit ainsi il ne décrit pas une énergie, mais il est vrai que ce rôle est ici dédié à .
Formulation la plus simplement ressemblante à celle sans quadri-écriture dans un champ électromagnétique