Un processus ou processus aléatoire (voir Calcul stochastique) ou fonction aléatoire (voir Probabilité) représente une évolution, discrète ou à temps continu, d'une variable aléatoire. Celle-ci intervient dans le calcul classique des probabilités, où elle mesure chaque résultat possible (ou réalisation) d'une épreuve.

Cette notion se généralise à plusieurs dimensions. Un cas particulier important, le champ aléatoire de Markov, est utilisé en analyse spatiale.

Utilité Notion de processus De nombreux domaines utilisent des observations en fonction du temps (ou plus rarement, d'une variable d'espace). Dans les cas les plus simples, ces observations se traduisent par une courbe bien définie. En réalité, des sciences de la Terre aux sciences humaines, les observations se présentent souvent de manière plus ou moins erratique. L'interprétation de ces observations est donc soumise à une certaine incertitude qui peut être traduite par l'utilisation des probabilités pour les représenter.

Un processus aléatoire généralise la notion de variable aléatoire utilisée en probabilité. On le définit comme une famille de variables aléatoires associées à toutes les valeurs (souvent le temps).

D'un point de vue statistique, on considèrera l'ensemble des observations disponibles comme une réalisation du processus, ce qui donne lieu à certaines difficultés. Un premier problème concerne le fait que la durée sur laquelle est construit le processus est généralement infinie alors qu'une réalisation porte sur une durée finie. Il est donc impossible de représenter parfaitement la réalité. Il y a une seconde difficulté beaucoup plus sérieuse : à la différence du problème des variables aléatoires, l'information disponible sur un processus se réduit généralement à une seule réalisation.

Types de processus

On distingue généralement les processus en temps discret et en temps continu, à valeurs discrètes et à valeurs continues.

Si l'ensemble est dénombrable on parle de ou de , si l'ensemble est indénombrable on parle de . La différence n'a rien de fondamental : en particulier la stationnarité, constance en fonction du temps des propriétés statistiques, se définit de la même façon. Il ne s'agit même pas d'une différence pratique car les calculs sur un processus continu s'effectuent à partir de l'échantillonnage d'une réalisation du processus. La différence porte plutôt sur l'attitude adoptée face à l'utilisation d'une seule réalisation.

Il existe une différence un peu plus nette entre les processus à valeurs continues et les processus de comptage à valeurs discrètes. Les seconds remplacent par des sommes algébriques les intégrales utilisées par les premiers.

Exemples

En matière de processus à valeurs continues, les processus de Gauss sont particulièrement utilisés pour les mêmes raisons que les variables de Gauss en statistiques élémentaires. Une application intuitive du théorème central limite conduit à penser que bon nombre de phénomènes, dus à des causes nombreuses, sont approximativement gaussiens. D'autre part, un tel processus présente l'avantage d'être entièrement défini par ses caractéristiques au second ordre, espérance et autocovariance.

La description d'un phénomène par des valeurs discrètes conduit à des processus de comptage dont le plus simple est le processus de Poisson utilisé dans la théorie des files d'attente.

La notion de propriété markovienne définit une classe de processus discrets ou continus, à valeurs discrètes ou continues, qui repose sur l'hypothèse selon laquelle l'avenir ne dépend que de l'instant présent.

Approche mathématique des processus stochastiques Définitions et propriété de base

On désigne par un espace de probabilité, un ensemble arbitraire et un espace métrique muni de la tribu borélienne notée . est souvent appelé (souvent, on aura ). peut faire référence au temps, à l'espace ou aux deux à la fois.

L'indice désigne alors un instant (), une date (), un point, ou encore un point à un certain instant. est appelé (souvent, on aura un ensemble fini ou dénombrable). Si l'espace d'état est de la forme , on parle de .

Un est une famille de variables aléatoires (c'est-à-dire, des applications mesurables) définies sur le même espace de probabilité indexée par et à valeurs dans . Si est un sous-ensemble d'un espace multidimensionnel, on préfère utiliser la dénomination de . Un processus stochastique est noté par . La valeur de la variable aléatoire en un certain est désignée par .

La famille de toutes les distributions finies-dimensionnelles de s'appelle la du processus. Si , on parle de .

Trajectoire d'un processus stochastique

Notons par l'ensemble des applications définies sur en tout point et à valeur dans . Fixons et désignons par l'application : . Une telle application est appelée trajectoire (ou réalisation) du processus stochastique .

Mesure de probabilité induite par un processus stochastique

Soit un processus stochastique, la σ-algèbre borélienne de (c'est-à-dire, la σ-algèbre engendrée par les ouverts de la topologie produit de ) et l'application suivante :

est mesurable. Désignons par la mesure de probabilité sur définie pour tout par mesure de probabilité sur un espace de fonctions.

La probabilité est dite induite par le processus stochastique sur l'espace mesuré .

Lois fini-dimensionnelles

Soient deux processus stochastiques et . On suppose que ces deux processus sont à valeur dans . Dans cette définition, on ne suppose pas qu'ils sont définis sur le même espace de probabilité. On dit alors que et possèdent les mêmes lois finis dimensionnelles si pour tout et pour tout , les vecteurs (donc de dimension finie) aléatoires et sont de même loi. Pour tout , on a :

On suppose que le processus est défini sur l'espace de probabilité et le processus est défini sur l'espace de probabilité .

Lorsque deux processus stochastiques et possèdent les mêmes lois finis dimensionnelles, ils induisent alors la même mesure de probabilité sur , c'est-à-dire :

Version d'un processus stochastique

Soient deux processus stochastiques et définis sur le même espace de probabilité . On dit que est une version (ou modification) du processus stochastique si . Il est clair que si est une version de , alors ils ont les mêmes lois finis dimensionnelles.

Processus stochastiques indistinguables

Soient deux processus stochastiques et définis sur le même espace de probabilité . On dit que et sont deux processus stochastiques indistinguables s'il existe tel que :

Il en découle plusieurs propriétés : Si est dénombrable, deux processus sont indistinguables si et seulement s'ils sont des versions l'un de l'autre ; Si est non dénombrable, deux processus peuvent être une version l'un de l'autre sans pour autant être indistinguables ; Supposons ou ℝ et et deux processus stochastiques tels que pour tout , les applications de dans , et sont continues à droite (resp. à gauche). Alors, et sont des versions l'un de l'autre si et seulement si et sont indistinguables.

Mutuelle indépendance

On dit que processus stochastiques sont mutuellement indépendants si et , les vecteurs aléatoires sont mutuellement indépendants.

Mesurabilité d'un processus stochastique

On suppose . On dit qu'un processus stochastique est mesurable si l'application suivante est mesurable :

Supposons que ou ℝ et que est un processus à trajectoires continues à droite (respectivement continues à gauches), i.e. est continue à droite (resp. continues à gauches). Alors, est mesurable.

Voir aussi

Bibliographie . . . . .

G.Plemanski, Plemanski et le rêve "cassusien" (Plemanski i sen "kassowski"), Warsaw, 1965

Articles connexes Bruit blanc Intégrale d'Itō Mouvement brownien Processus de comptage Processus continu Processus ponctuel Processus de Markov Rapport signal sur bruit Formule des probabilités composées

*