La moyenne arithmético-géométrique de deux réels positifs est une valeur intermédiaire obtenue comme limite de deux suites adjacentes satisfaisant une relation de récurrence qui reprend les formules de moyennes arithmétique et géométrique.
La convergence quadratique de ces suites permet une approximation rapide de la moyenne arithmético-géométrique qui est notamment associée à la longueur d'une ellipse en fonction des longueurs de ses axes.
Définition Étant donné deux réels positifs et , on définit deux suites positives et , de premiers termes , et satisfaisant les relations de récurrence :
. Les deux suites et sont adjacentes :
D'après le théorème des suites adjacentes, et ont donc une limite commune, , appelée la moyenne arithmético-géométrique de et .
Propriétés La moyenne arithmético-géométrique est bien une moyenne Étant donné deux réels positifs et , on montre que : ; par conséquent, ; il ressort directement de la définition que pour , . Cette propriété, jointe à la précédente, signifie que la moyenne arithmético-géométrique est (comme toutes les autres moyennesCf. l'article Moyenne généralisée.) une fonction symétrique et homogène d'ordre 1 en et ; , l'égalité n'intervenant que lorsque .
Vitesse de convergence On suppose et posons .
Il résulte de la majoration : que ce processus est à convergence quadratiqueVoir par exemple l'exposé de ..
Identités On a, pour tous réels positifs , et entre –1 et 1 :
On peut déduire de ces égalités la forme de Legendre de la moyenne arithmético-géométrique, pour :
Relation avec une intégrale elliptique
Gauss a établi une relation entre et une intégrale elliptique de première espèce:
où est l'intégrale elliptique de première espèce :
Il a montré en effet que l'intégrale vérifiait aussi la relation . Par conséquent, on a, par récurrence sur n, , où un et vn sont les deux suites arithmético-géométriques associées à a et b. Puis, par passage à la limite, .
La relation de Gauss et la rapidité de la convergence des deux suites arithmético-géométriques vers la moyenne donne un moyen rapide de calcul numérique approché précis de la valeur de l'intégrale elliptique .
Comparaisons avec d'autres moyennes On a les inégalités:
avec la moyenne géométrique, la moyenne logarithmique, la moyenne identrique et la moyenne arithmétique.
Histoire La moyenne arithmético-géométrique a été découverte indépendamment par les mathématiciens Adrien-Marie Legendre puis Carl Friedrich Gauss qui s'en servirent pour calculer de façon approchée la longueur de l'arc d'ellipse quelconque, qui s'exprime comme une intégrale elliptique, et même est à l'origine de l'intérêt pour ce domaine de l'analyse. Analysant les relations entre la moyenne arithmético-géométrique et les intégrales elliptiques de , Gauss, dans ses Cahiers mathématiques attira l'attentionCf. : De là, , la constante de la lemniscate étudiée par Gauss. sur la relation (donnant la longueur d'arc d'une lemniscate de Bernoulli) : .
Voir aussi Moyenne composée Procédé archimédien Formule de Brent-Salamin
Notes et références Notes
Bibliographie
Liens externes
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