En probabilité et en statistiques, la loi logarithmique est une loi de probabilité discrète, dérivée du développement de Taylor de la fonction logarithme népérien. En anglais, cette loi est plutôt appelée ou , pour éviter la confusion avec les lois dont les variables sont les logarithmes de variables suivant d'autres lois, comme la loi log-normale.
Définition On part du développement en série entière suivant :
pour . On peut en déduire l'identité qui suit :
On peut en tirer la loi de probabilité d'une variable aléatoire X distribuée selon une loi logarithmique, notée Log(p) :
pour , et où .
La fonction de répartition associée est
où est la fonction bêta incomplète.
Relations avec d'autres lois de probabilité
Pour p proche de 0,5, la loi logarithmique tend vers la loi géométrique de paramètre p.
Une loi de Poisson composée avec la loi logarithmique donne une loi binomiale négative : si est une variable aléatoire tirée selon une loi de Poisson de paaramètre et que est une série infinie de variables identiquement et indépendamment distribuées selon une loi Log(p), alors suit une loi binomiale négative de paramètres et q.
Applications Ronald Fisher a utilisé cette loi dans certains modèles de la génétique des populations.
Références
logarithmique