En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre commutative, les éléments entiers sur un anneau commutatif sont à la fois une généralisation des entiers algébriques (les éléments entiers sur l'anneau des entiers relatifs) et des éléments algébriques dans une extension de corps. C'est une notion très utile en théorie algébrique des nombres et en géométrie algébrique. Son émergence a commencé par l'étude des entiers quadratiques, en particulier les entiers de Gauss.

Définition

On fixe un anneau commutatif .

Exemples

Lorsque A est un corps (commutatif), un élément est entier sur A si (et seulement si) il est algébrique sur A. Dans le corps vu comme une algèbre sur l'anneau des entiers relatifs, les éléments entiers sont les entiers algébriques. Par exemple : tout entier de Gauss avec et une racine carrée de , est entier sur , car est annulé par le polynôme unitaire à coefficients entiers ; les seuls entiers algébriques rationnels sont les entiers relatifs. Soient a un élément de A et B l'anneau quotient A[X]/(X – a). L'image de X dans B est entière sur A. Soient G un groupe fini d'automorphismes de A, et A le sous-anneau des éléments de A fixes par tous les éléments de G. Alors, tout élément de A est entier sur A, ex. 12..

On dit que est entier sur , ou que c'est une -algèbre entière si tout élément de est entier sur . On dira aussi que est un morphisme entier ou que est une extension entière.

Contrairement au cas des extensions de corps, un morphisme d'anneaux n'est pas nécessairement injectif. Mais dire que est entier sur revient à dire que est entier sur le sous-anneau de . On peut donc toujours se restreindre aux morphismes injectifs. Mais il est plus commode de garder la définition du cas général (on peut ainsi dire qu'un morphisme surjectif est entier).

Propriétés

On dit qu'un morphisme de A dans B est un morphisme fini s'il fait de B un A-module de type fini, autrement dit, s'il existe tels que On dit aussi que B est fini sur A.

Si est entier sur , alors : pour toute -algèbre , le produit tensoriel est entier sur (par exemple : B[X] est entier sur A[X]) ; si de plus est entier sur , alors est entier sur . Si un polynôme de B[X] est entier sur A[X] alors ses coefficients sont entiers sur A (ex. 8 et 9)., lemme 8.4..

Fermeture et clôture intégrales

D'après le corollaire 1 ci-dessus, l'ensemble des éléments de entiers sur est une sous--algèbre de (c'est-à-dire un sous-anneau de stable par la multiplication par ). Cet ensemble est appelé la fermeture intégrale de dans .

Si est intègre, sa fermeture intégrale dans son corps des fractions est appelée la clôture intégrale de . En géométrie algébrique, cela correspond à la normalisation du schéma défini par . Si est égal à sa clôture intégrale, on dit que est intégralement clos ou normal.

D'après le corollaire 2 ci-dessus, la fermeture intégrale de dans une extension de son corps des fractions est toujours intégralement close. En particulier : la clôture intégrale de est intégralement close ; l'anneau O des entiers d'un corps K est intégralement clos, donc la clôture intégrale d'un anneau d'entiers algébriques est réduite à l'anneau des entiers de son corps des fractions.

Exemples

L'anneau ℤ = O des entiers est intégralement clos, l'anneau ℤ[] = O des entiers de Gauss aussi. En fait tout anneau principal est intégralement clos. Plus généralement (cf. Lemme de Gauss) un anneau intègre à PGCD — en particulier un anneau factoriel — est intégralement clos (par exemple un anneau régulier, comme l'anneau de polynômes R[X, … , X] à coefficients dans un corps ou anneau principal R). L'anneau O des entiers d'un corps quadratique ℚ() est bien connu : voir « Entier quadratique ». Par exemple, O = ℤ[(1 + )/2] et O = ℤ[]. La clôture intégrale de ℤ[t, t] est ℤ[t]Pour le calcul général de la clôture intégrale d'une algèbre engendrée par des monômes, voir par exemple , exercice 4.22.. Un anneau de valuation est intégralement clos ; une intersection d'anneaux de valuation aussi..

En fait, un anneau intègre est intégralement clos si et seulement si c'est une intersection d'anneaux de valuation pour son corps des fractions VI § 1 .. Un anneau de Dedekind est intégralement clos (par définition). En particulier : si A est intégralement clos alors SA aussi ; dans K, la fermeture algébrique du corps des fractions de A est égale au corps des fractions de la fermeture intégrale de A.

En théorie algébrique des nombres, on a par exemple fréquemment besoin de l'anneau des S-entiers d'un corps de nombres K, où S est un ensemble fini de nombres premiers. Il s'agit des éléments de K annulés par un polynôme unitaire à coefficients dans S–1ℤ, anneau des nombres rationnels dont le dénominateur n'est divisible que par les premiers de S (par exemple si S = {2, 3}, alors S–1ℤ est l'ensemble des fractions de la forme c/2a3b).

Lien avec les extensions algébriques Soient A un anneau intègre, K son corps des fractions et L une extension de K. Si un élément de L est entier sur A alors les coefficients de son polynôme minimal sur K sont entiers sur A.

Si x est entier sur A, il existe un polynôme unitaire Q ∈ A[X] annulant x. A fortiori, x est algébrique sur K, et son polynôme minimal P divise Q dans K[X]. Désignons par a, b, c, … les racines de P (dans un corps de décomposition) ; ainsi, P(X) = (X – a)(X – b)(X – c)… . Puisque ces racines sont aussi racines de Q, elles sont toutes entières sur A ; par conséquent, les coefficients de P, qui sont des polynômes en a, b, c, … , sont aussi entiers sur A (d'après le corollaire 1).

Si L est une extension finie de K et si B est la fermeture intégrale de A dans L, l'une des deux conditions suivantes suffit pour que B soit fini sur A : l'extension est séparable, ou A est une algèbre intègre de type fini sur un corps ou un anneau de Dedekind de caractéristique nulle. (Il existe des contre-exemples dans le cas général).

Applications à la géométrie algébrique

Soit un morphisme entier.

Les dimensions de Krull vérifient l'inégalité . Le morphisme de schémas associé à est fermé (c'est-à-dire qu'il envoie une partie fermée sur une partie fermée). Si de plus est injectif, alors est surjectif. Autrement dit, pour tout idéal premier de , il existe un idéal premier de tel que . De plus, est maximal si et seulement si est maximal. Enfin, on a l'égalité des dimensions ..

Notes et références

Catégorie:Algèbre commutative Catégorie:Théorie algébrique des nombres