Un irrationnel quadratique est un nombre irrationnel solution d'une équation quadratique à coefficients rationnels, et donc d'une équation quadratique à coefficients entiers. Dit autrement, c'est un nombre réel qui est racine d'un polynôme du second degré à coefficients rationnels irréductible sur le corps ℚ des rationnels, c'est-à-dire un nombre réel algébrique de degré 2.
Un irrationnel quadratique s'écrit , où r, s sont des rationnels et un entier naturel sans facteur carré.
Il engendre donc un corps quadratique réel ℚ(), où est un entier positif sans facteur carré.
Les irrationnels quadratiques sont caractérisés par la périodicité à partir d'un certain rang de leur développement en fraction continue d'après le théorème de Lagrange. (Voir Fraction continue d'un irrationnel quadratique).
Exemples Les exemples les plus simples d'irrationnels quadratiques sont les racines carrées d'entiers naturels qui ne sont pas des carrés parfaits, comme ). On démontre en effet que si un entier n'est pas le carré d'un entier alors, il n'est pas non plus le carré d'un rationnel (voir racine carrée d'un entier naturel#Irrationalité) ; plus généralement, tout entier algébrique réel non entier est irrationnel, p. 15., et donc en particulier les entiers algébriques de degré 2, comme les racines carrées d'entiers mais aussi le nombre d'or (dont l'irrationnalité se déduit également de celle de √5) ;
Caractérisation La racine réelle d'un polynôme du second degré à coefficients entiers, peut toujours s'écrire :
où est un entier relatif, un entier naturel non nul, et un entier relatif non nul. L'irrationnalité de ce nombre équivaut à celle de , d'où la caractérisation annoncée en introduction.
Notes et références
Articles connexes
Fonction point d'interrogation Théodore de Cyrène Théorème de Hasse-Minkowski
Catégorie:Type de nombre