En mathématiques, et plus précisément en analyse complexe, le théorème de factorisation de Weierstrass, nommé en l'honneur de Karl Weierstrass, affirme que les fonctions entières peuvent être représentées par un produit infini, appelé produit de Weierstrass, mettant en jeu leurs zéros. Il peut se concevoir comme l'analogue du théorème fondamental de l'algèbre à l'analyse complexe (les fonctions entières y étant régulièrement décrites en analogie avec les polynômes de l'algèbre).
Le théorème de factorisation de Weierstrass Du développement en série entière suivant pour :
on déduit que la fonction tronquée aux premiers termes , est sensiblement égale à 1 sur [–1 ; 1], sauf dans un voisinage de où elle admet un zéro d'ordre 1. Ces facteurs sont appelés facteurs primaires de Weierstrass. Avec eux, Weierstrass a montré que pour toute fonction entière d'ordre fini et s'annulant sur les nombres complexes , il existe un polynôme de degré inférieur ou égal à , et un entier tels que l'on ait , p.283 : . Le facteur correspond aux fonctions ayant un zéro d'ordre en 0.
Par la suite, Borel a précisé et le degré du polynôme P. Le degré de P est égal à la partie entière de l'ordre si n'est pas entier. Il peut prendre la valeur ou la valeur si l'ordre est entier. L'entier est majoré par . L'un des deux entiers au moins est égal à si l'ordre est entier. Ce théorème a été généralisé par Hadamard aux fonctions méromorphes.
Le théorème de Hadamard Le théorème de factorisation de Hadamard relatif aux fonctions méromorphes d'ordre fini s'énonce ainsi :
Il est une simple conséquence du théorème de factorisation de Weierstrass et du théorème suivant :
Exemples de factorisations et applications La forme donnée par le théorème de factorisation peut souvent se réécrire (voir la section correspondante de l'article « Produit infini ») : , où les sont les zéros de ; en pratique, la difficulté est le plus souvent de déterminer la fonction .
On a en particulier
Pour l'inverse de la fonction gamma, on a la formule analogue (formule due à Schlömilch) Le produit infini correspondant à la fonction sinus a été découvert par Leonhard Euler, qui s'en est servi pour résoudre le problème de Bâle, et obtenir plus généralement, en identifiant le développement du produit avec celui de la fonction sinus en série de Taylor, les valeurs de la fonction zêta de Riemann aux entiers pairs : , où les sont les nombres de Bernoulli.
Notant la solution de l'équation comprise entre et (pour entier strictement positif), on peut de même obtenir le développement en produit infiniRevue Tangente Sup, , . : , d'où l'on tire (par identification avec le développement en série de Taylor) le résultat .
Notes et références
Voir aussi Article connexe Théorème de Mittag-Leffler Bibliographie Walter Rudin, Real and Complex Analysis, , Boston, McGraw Hill, 1987, Liens externes
Weierstrass (theoreme de factorisation)