vignette|Tracé d'une hélice sur un cône, la courbe de base est une spirale logarithmique.

En géométrie, l'hélice est une courbe dont la tangente en chaque point fait un angle constant avec une direction donnée. Selon le théorème de Lancret, les hélices sont les seules courbes pour lesquelles le rapport entre la courbure et la torsion soit constant.

On utilise parfois le mot hélice dans le sens restrictif dhélice circulaire tracée sur un cylindre de révolution.

Types Il existe de nombreux types d'hélices, certaines sont désignés en référence à leur courbe directrice La directrice est la courbe obtenue par projection orthogonale de la courbe sur un plan perpendiculaire à l'axe de l'hélice (cf section «Hélice cylindrique générale») , d'autres en référence à la surface sur laquelle elles sont tracées. On peut citer

Hélice Courbe directrice Surface sur laquelle elle est tracée Hélice circulaire Cercle Cylindre de révolution Hélice elliptique Ellipse Cylindre elliptique Hélice conique Spirale logarithmique Cône de révolution Hélice sphérique Épicycloïde Sphère Hélice du paraboloïde Développante du cercle Paraboloïde Hélice du H1 Hyperboloïde à une nappe

Hélice circulaire

Une hélice circulaire est inscrite sur un cylindre de révolution. L'axe de ce cylindre est appelé axe de l'hélice, le rayon de ce cylindre est appelé rayon de l'hélice. Toute droite tracée sur le cylindre est coupée par l'hélice en intervalles réguliers dont la longueur fixe est appelée le pas de l'hélice.

Pour obtenir une hélice circulaire de manière simple, prendre une feuille rectangulaire, tracer un trait sur une diagonale et enrouler la feuille pour former un cylindre d'axe parallèle à son grand ou à son petit côté; le trait dessine une hélice. C'est aussi la forme des ressorts à boudin, des solénoïdes, des filetages et taraudages et des rampes d'escaliers en colimaçon. Équations paramétrées Dans l'espace muni d'un repère orthonormé direct , il existe deux hélices circulaires infinies d'axe , de rayon et de pas dont les équations paramétriques rectangulaires sont:

où vaut 1 (hélice dextre) ou -1 (hélice senestre).

Les équations paramétriques en coordonnées cylindriques sont:

où vaut 1 ou -1.

Si on pose , les équations paramétriques en paramétrage normal sont

où vaut 1 ou -1.

La projection d'une hélice circulaire sur un plan orthogonal à son axe est un cercle. Sur un plan parallèle à son axe, elle se projette selon une sinusoïde.

La longueur d'un arc d'hélice circulaire de rayon et de pas pris entre les paramètres et vaut :

où

Tangente et sécante Si on note

La dérivée de est :

Ce vecteur est de norme et fait avec le vecteur un angle constant tel que

On appelle angle de l'hélice le complémentaire de l'angle .

La norme constante du vecteur permet de justifier les équations de la courbe en paramétrage normal et l'expression de la longueur d'un arc.

Une sécante à l'hélice fait avec le vecteur un angle tel que

Cet angle est donc toujours plus petit que . Ceci fait de l'hélice un exemple illustrant le fait que le théorème des accroissements finis (toute sécante d'une courbe différentiable est parallèle à une tangente) n'est pas vrai pour les courbes gauches.

Courbure et développée En paramétrisation normale, si on note

le vecteur unitaire tangent est

et sa dérivée est

Le courbure est donc et le vecteur normal est le vecteur normal au cercle de base au point projeté de .

Le plan osculateur coupe le plan de base selon l'angle de l'hélice et selon une droite perpendiculaire à la tangente au cercle de base en .

Le centre de courbure en a pour coordonnées

L'ensemble des centres de courbure, c'est-à-dire la développée de l'hélice est une hélice de même pas, de rayon et d'angle complémentaire à . La développée de cette développée redonne l'hélice de départ.

Torsion Le troisième vecteur du repère de Frenet, c'est-à-dire le vecteur binormal a pour coordonnées

Le plan rectificateur, orthogonal au vecteur est le plan tangent au cylindre au point .

La dérivée du vecteur fournit la torsion

La torsion est donc une constante égale à . Réciproquement, la forme d'une courbe étant entière déterminée par sa fonction courbure et sa fonction torsion, les seules courbes à courbure et torsion constantes sont les hélices circulaires.

Hélice cylindrique générale Plusieurs approches presque équivalentes sont possibles pour définir des hélices générales.

Une hélice est une courbe régulièreFerréol dans suppose simplement l'existence d'une tangente en tout point. tracée sur un cylindre et coupant les génératrices du cylindre suivant un angle constant. La direction des génératrices est l'axe de l'hélice. La courbe obtenue par intersection du cylindre avec un plan normal à son axe est la base de l'hélice ou directrice de l'hélice . Le complémentaire de l'angle est l'angle de l'hélice. Si est nul, l'hélice est une courbe plane, et si est droit, l'hélice est une génératrice.

Pour appartenant à , en choisissant un repère orthonormé dont le troisième vecteur est directeur de l'axe du cylindre, on démontre que, dans une paramétrisation normale de l'hélice (abscisse curviligne ), la composante suivant est nécessairement affine de pente et que l'abscisse curviligne sur orientée par les croissants est une fonction affine de pente .

Réciproquement, si est une courbe plane régulière de paramétrisation normale , si est un vecteur unitaire normal au plan de la courbe et si et sont deux réels quelconques, la courbe de paramétrisation

est une hélice d'axe de direction , de base et d'angle tel que . Cette réciproque fournit, pour non droit, une deuxième définition équivalente de l'héliceC'est la définition choisie par Tauvel ..

En développant le cylindre dans un plan, l'hélice se déploie alors suivant une droite faisant avec le déploiement de un angle .

Si la courbe est fermée de longueur , la distance entre deux points consécutifs de l'hélice situés sur une même génératrice est fixe, c'est le pas de l'hélice. Il est égal à

Si l'hélice est birégulière, son vecteur normal est celui du vecteur normal de la courbe . Sa courbure est proportionnelle à celle de la courbe :

Si le point de se projette orthogonalement en de , le plan osculateur en coupe le plan de base suivant un angle et suivant une droite perpendiculaire à la tangente à en . Le plan rectifiant est tangent au cylindre.

Si la courbe est birégulière d'ordre 3, la torsion est proportionnelle à la courbure de :

Le rapport entre la courbure et la torsion est constant:

Réciproquement, une courbe birégulière d'ordre 3 pour laquelle le rapport entre courbure et torsion est constant est une hélice (théorème de Lancret).

Il existe d'autres propriétés caractéristiques de l'hélice: Une courbe birégulière dont la normale est toujours orthogonale à un vecteur unitaire fixe est une hélice. Une courbe birégulière dont le vecteur binormal fait avec un vecteur unitaire fixe un angle constant est une hélice.

Notes et références

Sources

.

Voir aussi

ADN Escalier en colimaçon Hélicoïde Mouvement hélicoïdal Hélice alpha Hélice (biochimie) Vrille

* Catégorie:Courbe gauche