En mathématiques, les groupes classiques sont différentes familles de groupes de transformations liées à l'algèbre linéaire, principalement les groupes linéaires, orthogonaux, symplectiques et unitaires.
Ces groupes peuvent aussi être présentés comme groupes de matrices inversibles, et des quotients de ceux-ci. Les groupes matrices carrées d'ordre n (GL(n, R)), GL(n, C)), le groupe des matrices orthogonales d'ordre n (O(n)) et le groupe des matrices unitaires d'ordre n (U(n)) sont des exemples explicites de groupes classiques.
À tout groupe classique, on peut associer une ou plusieurs géométries dite classiques, dans l'esprit du programme d'Erlangen de Felix Klein. Réciproquement, les groupes associés aux géométries classiques sont des groupes classiques (ou liés à ceux-ci).
Sans contexte ou qualificatif, l'expression groupe classique est ambiguë. Dans certains contextes, on peut lever l'ambiguïté : il y a les groupes de Lie simples classiques et les groupes algébriques simples classiques, ainsi que les groupes finis simples classiques.
L'expression groupe classique aurait été créée par Hermann Weyl, et c'est lui qui l'a popularisée dans son traité The Classical Groups.
Dans ce qui suit, les corps ne sont pas supposés être commutatifs.Dans ce qui suit, tous les espaces vectoriels sont supposés être de dimension finie non nulle.
Groupes classiques de base Groupes linéaires, orthogonaux, symplectiques ou unitaires Les principaux exemples de groupes classiques sont les suivants. Le groupe général linéaire GL(E) d'un espace vectoriel E de dimension finie non nulle sur un corps D. Le groupe orthogonal O(q) d'une forme quadratique non dégénérée q sur un espace vectoriel E de dimension finie supérieure ou égale à 2 sur un corps commutatif K. Si la caractéristique du corps est 2, on peut prendre une forme bilinéaire symétrique plutôt qu'une forme quadratique. Le groupe symplectique Sp(φ) d'une forme bilinéaire alternée non dégénérée φ sur un espace vectoriel E de dimension finie paire supérieure ou égal à 2 sur un corps commutatif K. Soient D un corps, J un antiautomorphisme de D tel que J² est l'identité de D (on peut prendre pour D le corps des nombres complexes ou le corps des quaternions de Hamilton et J la conjugaison de ce corps), E un espace vectoriel de dimension finie non nulle sur D, φ une forme sesquilinéaire non dégénérée sur E relativement à J, qui est hermitienne ou antihermitienne (c'est-à-dire telle que, si ε = 1 ou ε = -1, φ(y, x) = εJ(φ(x, y)) pour tout x et y dans E). Alors le groupe des éléments f de GL(E) tel que φ(f(x), f(y)) = φ(x, y) est un groupe classique. On l'appelle groupe unitaire de φ et on le note U(φ). Si J est l'identité (et alors D est commutatif), alors φ est symétrique ou alternée et alors, si la caractéristique de K est différente de 2, U(φ) est le groupe orthogonal ou symplectique de φ, suivant le cas. En caractéristique 2, on peut généraliser cet exemple, pour inclure le groupe orthogonal d'une forme quadratique non dégénérée. Si D est le corps des quaternions, si J est la conjugaison et si φ est une forme hermitienne (resp. antihermitienne) pour J, alors U(φ) est noté Sp(φ) (resp. O(φ) ou SO(φ)).
Sous-groupes distingués Certains sous-groupes distingués de ces groupes sont aussi qualifiés de classiques. C'est le cas du groupe spécial linéaire SL(E) si le corps est commutatif, et de ses intersections avec le groupe orthogonal (en caractéristique différente de 2) ou le groupe unitaire, que l'on appelle groupe spécial orthogonal (SO(q) = O(q) ∩ SL(E))) ou groupe spécial unitaire (SU(φ) = U(φ) ∩ SL(E)).
Quotients Le quotient des groupes précédents par le groupe des homothéties qui leur appartiennent (son centre le plus souvent) est un groupe qui est aussi qualifié de classique. En particulier, les groupes suivants sont des groupes classiques (avec les notations précédentes) : Le groupe projectif : PGL(E) = GL(E)/Z*, où Z* est le groupe des éléments non nuls du centre Z de D (Z = D si D est commutatif); Si D est commutatif, le groupe projectif spécial linéaire : PSL(E) = SL(E)/S, où S est le groupe des éléments a de D tel que = 1, où n est la dimension de E; Le : PO(q) = O(q)/{-1, 1}; Le groupe projectif spécial orthogonal, si dim E est paire : PSO(q) = SO(q)/{-1, 1}; Le groupe projectif symplectique : PSp(φ) = Sp(φ)/{-1, 1}; Le : PU(φ) = U(φ)/S, où S et le groupe des éléments a du centre de D tel que aJ(a) = 1. Si le corps est commutatif D, le groupe projectif spécial unitaire : PSU(φ) = SU(φ)/S, où S est le groupe des éléments a de D tel que = 1, où n est la dimension de E. Dans le cas d'une forme hermitienne (resp. antihermitienne) sur espace vectoriel sur le corps H des quaternions, le groupe PU(φ) est noté PSp(φ) (resp. PO(φ) ou PSO(φ)).
Autres groupes classiques On définit ici d'autres groupes classiques, que l'on rencontre moins souvent, et qui seront peu utilisés dans la suite de cet article.
Généralisations des groupes spéciaux linéaires, orthogonaux et unitaires Lorsque le corps de base des espaces vectoriels est non commutatif, on peut étendre la définition des groupes spéciaux linéaires, et lorsque la caractéristique est égale à 2, on peut étendre la définition du groupe spécial orthogonal. Voici comment. Tous les groupes dans cette sections sont dits classiques.
Groupes spéciaux linéaires Soient D un corps, K le centre de D et E un espace vectoriel de dimension finie non nulle n sur D. Le sous-groupe de GL(E) engendré par les transvections vectorielles de E est un sous-groupe normal de GL(E), que l'on note EL(E), on note PEL(E) l'image canonique de EL(E) dans PGL(E) = GL(E)/Z(K)*. Si D est commutatif, on a EL(E) = SL(E) et PEL(E) = PSL(E). De plus PEL(E) et simple, sauf si n = 1, ou si n = 2 et si K = F ou K = F. Certains notent ce groupe SL(E), mais il y a alors risque de confusion avec le groupe que l'on définira dans les lignes qui suivent. On suppose que D est de dimension finie sur K. Alors la dimension de la K-algèbre A = End(E) est un carré d. Il existe un surcorps commutatif L de dimension finie sur K tel que la L-algèbre L ⊗ A déduite de A par extension des scalaires de K à L est isomorphe à la L-algèbre de matrices M(L), et alors, en composant le morphisme f ↦ 1 ⊗ f de A dans L ⊗ A, un isomorphisme de L ⊗ A sur M(L) et la fonction U ↦ det U de M(L) dans L, on obtient une fonction N de A = End(E) dans L, qui est en fait à valeurs dans K, et qui ne dépend que de E. L'image d'un élément f de A par N est appelée sa norme réduite et est notée Nrd f. La fonction f ↦ Nrd f de GL(E) dans K* est un morphisme de groupes, on appelle groupe spécial linéaire de E et l'on note SL(E) le noyau de ce morphisme de groupes, qui est donc un sous-groupe normal de GL(E). On note PSL(E) son image canonique dans PGL(E) = GL(E)/K*. Si D est commutatif (c'est-à-dire si D = K), alors SL(E) est le groupe des éléments f de déterminant 1 de GL(E). Si D est un corps de un corps de quaternions (par exemple le corps ℍ des quaternions de Hamilton) ou si K est un corps local ou un corps global, alors SL(E) = EL(E). On suppose que D est le corps ℍ des quaternions. Par , E peut être considéré comme un espace vectoriel complexe E, et GL(E) est un sous-groupe de GL(E). Pour tout élément f de GL(E) la norme réduite de f est égale au déterminant de f, considéré comme élément de GL(E). Alors SL(E) = EL(E) = SL(E) ∩ GL(E).
Groupes spéciaux unitaires On note D un corps, K le centre de D, E un espace vectoriel sur D. On suppose qu'il existe un antiautomorphisme J de D tel que J2 est l'identité de D et soit alors φ une forme sesquilinéaire non dégénérée sur E relativement à J qui est hermitienne ou antihermitienne (voir plus haut pour les définitions). On suppose que D est de dimension finie sur K (en tant que K-espace vectoriel). Alors on appelle groupe spécial unitaire de φ est on note SU(φ) le sous-groupe U(φ) ∩ SL(E) de U(φ). On note PSU(φ) son image canonique dans PGL(E) = GL(E)/K*. Si D est non commutatif et si l'automorphisme de K induit par J est l'identité (par exemple si K est le corps des quaternions et si J est la conjugaison de ce corps), alors on a SU(φ) = U(φ). On suppose que, si J est l'identité de D (et alors D est commutatif), alors φ est une forme bilinéaire alternée, à ne pas confondre avec celles qui sont antisymétriques (ce qui exclut toutes les formes bilinéaires symétriques en caractéristique différente de 2). On suppose qu'il existe des vecteurs non nuls x de E tel que φ(x, x) = 0. On note EU(φ) le sous-groupe U(φ) engendré par l'ensemble des transvections vectorielles f de E qui appartiennent à U(φ) telle que la direction L de f est isotrope pour φ (c'est-à-dire φ(x, x) = 0 pour un vecteur non nul de L). On note PEU(φ) l'image canonique de EU(φ) dans PGL(E) = GL(E)/K*. Sauf un nombre fini d'exceptions à un isomorphisme près (sur certains corps finis en très basses dimensions), le groupe PEU(φ) est simple. Si K est commutatif, alors EU(φ) = SU(φ), et donc PEU(φ) = PSU(φ) (qui est alors simple, sauf quelques exceptions), et si de plus J est l'identité de K, alors φ est une forme bilinéaire alternée et Sp(φ) = U(φ) = SU(φ) est inclus dans SL(E).
Groupes spéciaux orthogonaux On note K un corps commutatif de caractéristique quelconque, E un espace vectoriel de dimension n sur K, q une forme quadratique non dégénérée sur E et φ la forme bilinéaire symétrique associée à q. Si la caractéristique de K est différente de 2, le groupe spécial orthogonal de q (ou de φ) est défini comme étant le groupe des éléments de O(q) dont le déterminant est 1, mais si la caractéristique de K est 2, alors le déterminant de tout élément de O(q) est 1, et il faut donc définir SO(q) différemment. Les définitions que l'on donne ici sont valables en caractéristique quelconque. Soit, pour tout élément f de O(q), Δ(f) l'élément de Z/2Z qu'est la classe modulo 2 de dim Im(f - IE). Alors la fonction f → Δ(f) de O(q) dans Z/2Z est un homomorphisme de groupes surjectif, et on appelle groupe spécial orthogonal de q et on note SO(q) le noyau de cet homomorphisme de groupes. On note PSO(q) l'image canonique de SO(q) dans PGL(E) = GL(E)/K* (si la caractéristique de K est différente de 2 et si n est pair, alors PSO(q) = SO(q)/{-1, 1}, et sinon PSO(q) = SO(q)/{1}). Si la caractéristique de K est différente de 2, alors SO(q) = O(q) ∩ SL(E). Voici une autre définition équivalente de SO(q) qui est liée aux algèbres de Clifford. Pour tout élément f de O(q), il existe un unique automorphisme Cl(f) de l'algèbre de Clifford Cl(q) de q qui prolonge f (E est identifiée à un sous-espace vectoriel de Cl(q)). Les centres de Cl(q) et de Cl0(q) sont stables par Cl(f). Si n est pair (resp. impair), alors SO(q) est défini comme étant le groupe des éléments f de O(q) tels que Cl(f) induit l'identité sur le centre Z de Cl0(q) (resp. de Cl(q)), c'est-à-dire tel que Cl(f)(z) = z pour tout élément de Z. Pour tout vecteur v de E tel que q(v) est non nul, la fonction x → x - φ(x, v)v/q(v) de E dans E est un élément de O(q), que l'on appelle réflexion pour φ définie par v, et on note ici rv. (Si la caractéristique de K est 2, alors les réflexions sont des transvections vectorielles.) L'ensemble des rv d'un vecteur v de E tel que q(v) est non nul est une partie génératrice de O(q) (sauf si K = F2, n = 4 et si q est hyperbolique (c'est-à-dire s'il y au plan vectoriel de E sur lequel q est identiquement nul), et on exclut ce cas de la discussion). De plus tout élément SO(q) est produit d'un nombre pair de réflexions.