En mathématiques, le lemme de Cousin (du nom du mathématicien françaisCurieusement, le dit belge (p. 472). Pierre Cousin) est une propriété de la droite réelle équivalente à l'existence de la borne supérieure pour les parties non vides et majorées de ℝ. Il joue un rôle important dans l'intégrale de Kurzweil-Henstock, mais permet également de démontrer directement des théorèmes d'analyse.
Historique En 1894, Pierre Cousin., , démontra une variante du théorème de Borel-Lebesgue (p. 172-173). Voir aussi ., connue parfois à présent sous le nom de théorème de CousinLe théorème de Cousin dit que si une jauge est définie sur une partie E fermée et bornée du plan (le résultat est en fait vrai pour un espace métrique compact quelconque), il existe une suite finie de points de E, , telle que E est recouvert par la réunion des disques de centre et de rayon ., mais ce travail fut pour l'essentiel ignoré, et fut redécouvert indépendamment par Borel et Lebesgue quelques années plus tard. Le lemme de Cousin en est une simple conséquence dans le cas d'un intervalle réel ; ce nom lui fut donné par Kurzweil et Henstock en raison de l'importance de cette forme du théorème de Borel dans la définition de leur intégrale.
Énoncé Le lemme de Cousin s'énonce comme suit. :
On dit que marque le segment , et que la subdivision marquée par les points est -fine.. On utilisera souvent le fait qu'alors, est inclus dans .
L'intégrale de Kurzweil-Henstock
L'intégrale de Riemann est une définition de l'intégrale généralement accessible aux étudiants de premier cycle universitaire, mais elle présente plusieurs inconvénients. Un certain nombre de fonctions relativement simples ne possèdent pas d'intégrale au sens de Riemann, par exemple la fonction de Dirichlet. Par ailleurs, cette théorie de l'intégration rend malaisées les démonstrations et l'utilisation des théorèmes puissants d'intégration, tels que le théorème de convergence dominée, le théorème de convergence monotone ou le théorème d'interversion série-intégrale. Ces lacunes sont comblées par l'intégrale de Lebesgue mais celle-ci est plus complexe et difficilement accessible dans les premières années du supérieur.
Kurzweil et Henstock ont proposé une théorie de l'intégration, guère plus difficile que la théorie de Riemann, mais aussi puissante que la théorie de Lebesgue, en posant. :
Si l'on prend des jauges constantes, on retrouve l'intégrale de Riemann.
Dans cette théorie, le lemme de Cousin joue un rôle essentiel.
Quelques applications en analyse Nous donnons ci-dessous quelques exemples de propriétés susceptibles d'être directement démontrées au moyen du lemme de Cousin. Dans chacun des cas, il suffit de choisir une jauge adéquate.
Existence de la borne supérieure La propriété de la borne supérieure, qui a permis de démontrer le lemme de Cousin pour ℝ, lui est en fait équivalente (pour tout corps totalement ordonné K)..
En effet, si A est une partie de K sans borne supérieure, contenant un élément et majorée par un élément , montrons que le lemme de Cousin n'est pas satisfait pour la jauge suivante sur : si ne majore pas A, il existe dans A tel que . On prend alors dans . si est un majorant de A, il existe un majorant de A tel que (puisque par hypothèse, n'est pas une borne supérieure de A). On pose alors . Si possédait une subdivision marquée -fine, on aurait : si ne majore pas A alors non plus (car pour un certain dans A), donc si majore A alors aussi ; si majore A alors aussi (car pour un certain majorant de A). Par conséquent, de proche en proche (à partir de ) tous les et les majoreraient A, ce qui contredirait l'hypothèse initiale ( serait le plus grand élément de A).
Le théorème des bornes Soit continue sur un segment . Supposons que n'admet pas de maximum et montrons qu'alors, le lemme de Cousin n'est pas satisfait pour la jauge suivante sur :
Si possédait une subdivision marquée -fine, on aurait : pour chaque , il existe tel que . Soit tel que soit le plus grand des . L'élément est dans l'un des intervalles de la subdivision, mais il doit alors vérifier, comme les autres éléments de cet intervalle : , ce qui est contradictoire avec la maximalité de .
Le théorème des valeurs intermédiaires Soit continue sur et ne s'annulant pas. Montrons que est de signe constant, en appliquant le lemme de Cousin à la jauge suivante sur : si , on prend tel que ; si , on prend tel que . Soit une subdivision marquée -fine, alors est de signe constant sur chaque intervalle donc sur tout l'intervalle .
Le théorème de Heine dans le cas réel Soit continue sur , et soit . Pour tout , il existe tel que est inclus dans .
Soient une subdivision marquée -fine, puis le plus petit des . Si et sont tels que , et si est dans l'intervalle , alors et , de sorte que et sont tous deux dans donc dans . Il en résulte que . On a ainsi montré que est uniformément continue..
Approximation d'une fonction continue par des fonctions en escalier Soit continue sur , et soit . L'application étant continue, pour tout de , il existe tel que est inclus dans . Soient une subdivision marquée -fine, puis la fonction en escalier définie comme suit : ; pour tout élément de , . Alors, approche uniformément à près.
Le théorème de relèvement Soit continue sur et à valeurs dans le cercle unité 𝕌 du plan complexe. Pour tout , il existe tel que soit inclus dans 𝕌 privé d'un point. L'application possède alors un relèvement local sur . Par exemple, si est inclus dans 𝕌\{–1}, on prendra comme relèvement (à un multiple de près) la fonction égale à si et à si . Si l'on considère une subdivision marquée -fine de , on obtient un relèvement local sur chaque sous-intervalle de la subdivision. On obtiendra un relèvement global continu en ajoutant au besoin à la fonction le nombre , de façon à obtenir la continuité au point .
Le théorème de Bolzano-Weierstrass dans le cas réel Soit une suite réelle bornée, donc à valeurs dans un segment . (i) Si est une valeur d'adhérence de la suite, on prend quelconque strictement positif. (ii) Sinon, il existe tel que l'intervalle ne contienne qu'un nombre fini de termes de la suite. Le lemme de Cousin affirme l'existence d'une subdivision marquée -fine. Cela impose nécessairement au moins un marqueur du type (i), car si tous les marqueurs étaient du type (ii), la suite n'aurait qu'un nombre fini de termes.
Le théorème de Borel-Lebesgue dans le cas réel Soit (Oi) une famille d'ouverts recouvrant un segment [a,b]. Pour tout de [a,b], est dans l'un des Oi. Ce dernier étant ouvert, il existe tel que l'intervalle soit inclus dans Oi. Le lemme de Cousin affirme l'existence d'une subdivision marquée -fine. Chaque intervalle de cette subdivision est inclus dans l'un des Oi, ce qui définit un recouvrement de [a,b] par un nombre fini d'ouverts Oi..
Fonction continue à dérivée nulle sauf sur un ensemble dénombrable Soit une fonction continue définie sur un intervalle réel et dont la dérivée est définie et nulle, sauf en un nombre dénombrable de points. Alors est constante.. En effet, soit . Posons : (i) Si est égal à l'un des points , entier, en lesquels la dérivée n'est pas définie ou n'est pas nulle, utilisant la continuité de , choisissons tel que, pour tout dans , . Puisque la variation de sur l'intervalle est au plus , la somme de ces variations sur tous ces intervalles, lorsque décrit l'ensemble des entiers, est majorée par . (ii) Sinon, donc il existe tel que, pour tout dans , on ait . Puisque la variation de sur l'intervalle est au plus fois la longueur de l'intervalle, la somme de ces variations sur une réunion de tels intervalles est majorée par fois la somme des longueurs des intervalles.
Pour tout dans , le lemme de Cousin fournit une subdivision marquée -fine. En distinguant les marqueurs du type (i) et du type (ii), on obtient , car est un majorant de la somme des longueurs des intervalles de la subdivision du type (ii). L'inégalité étant vraie pour tout , il en résulte que .
Fonction lipschitzienne à dérivée nulle presque partout Soit une fonction -lipschitzienne sur un intervalle réel et dont la dérivée est définie et nulle presque partout. Alors est constante.. En effet, soit et soit un ouvert de mesure inférieure à contenant les points où la dérivée de est non nulle ou non définie. (i) Si est un point de , choisissons tel que tel que soit inclus dans . Pour tout et tout dans cet intervalle, . Remarquons que la variation de sur cet intervalle est au plus fois la longueur de l'intervalle, et que la somme des longueurs de tels intervalles disjoints (sauf en leur extrémité) est inférieure à la mesure de . (ii) Sinon, donc il existe tel que, pour tout pour tout dans , on ait . Puisque la variation de sur l'intervalle est au plus fois la longueur de l'intervalle, la somme de ces variations sur une réunion de tels intervalles est majorée par fois la somme des longueurs des intervalles.
Pour tout dans , le lemme de Cousin fournit une subdivision marquée -fine. En distinguant les marqueurs du type (i) et du type (ii), on obtient , car est un majorant de la somme des longueurs des intervalles de la subdivision du type (ii). L'inégalité étant vraie pour tout , il en résulte que .
Une démonstration analogue s'applique aux fonctions absolument continues.
Le théorème fondamental de l'analyse
Soit dérivable sur de dérivée . Alors , bien que non nécessairement continue, est KH-intégrable et ..
En effet, soit . Pour tout de , il existe tel que, pour tout dans tel que , on ait :
ou encore : pour tout dans tel que ,
Pour toute subdivision marquée -fine, on aura donc :
et en sommant ces inégalités :
Or cette inégalité signifie que est KH-intégrable et que son intégrale vaut .
On peut montrer que la conclusion reste vraie si est dérivable sauf en un nombre dénombrable de points..
Notes et références Notes
Références
Cousin Catégorie:Théorème de compacité Catégorie:Théorie de l'intégration Catégorie:Analyse réelle