thumb|Comparaison graphique entre interpolation lagrangienne (en rouge) et hermitienne (en bleu) de la fonction (en noir) en trois points équidistants -1, 1/2, 2.
En analyse numérique, l'interpolation d'Hermite, nommée d'après le mathématicien Charles Hermite, est une extension de l'interpolation de Lagrange, qui consiste, pour une fonction dérivable donnée et un nombre fini de points donnés, à construire un polynôme qui est à la fois interpolateur (c'est-à-dire dont les valeurs aux points donnés coïncident avec celles de la fonction) et osculateur (c'est-à-dire dont les valeurs de la dérivée aux points donnés coïncident avec celles de la dérivée de la fonction). Cette méthode d'interpolation permet d'éviter les phénomènes de Runge dans l'interpolation numérique ou, plus simplement, de manipuler des polynômes ayant des propriétés proches de celles de la fonction interpolée.
Définition du problème à l'ordre 1 Soit une fonction de classe d'une variable définie sur un segment et à valeurs réelles et soient points de distincts deux à deux. L'objectif est de construire un polynôme de degré minimal tel que : . Puisque l'on impose valeurs pour déterminer le polynôme , celui-ci sera donc de degré au plus .
Construction Une méthode de construction de consiste à prendre les carrés des polynômes de Lagrange associés aux points : , de degré et vérifiant : .
Un polynôme de la forme
satisfait donc les conditions si et seulement si les polynômes vérifient : , ce qui équivaut à : .
La solution la plus simple est de choisir
et est alors de degré au plus .
Unicité
L'unicité du polynôme interpolateur d'Hermite se montre de façon similaire à celle du polynôme interpolateur de Lagrange : soient deux polynômes et vérifiant les hypothèses voulues. On a donc deux polynômes de degré au plus dont les valeurs et les dérivées coïncident en points. Ainsi, est divisible par qui est un polynôme de degré . Puisque est de degré au plus , il est forcément nul.
Majoration de l'erreur
L'erreur d'approximation causée par l'interpolation d'Hermite est donnée par le résultat suivant :
Ainsi, l'interpolation d'Hermite est d'un ordre très supérieur à celui de l'interpolation lagrangienne (d'ordre ).
Extension aux ordres supérieurs L'interpolation d'Hermite peut être étendue à l'interpolation des valeurs des dérivées supérieures, en cherchant, pour une fonction de classe sur , un polynôme interpolateur vérifiant : .
Le polynôme à construire est donc de degré minimal . Une méthode pour le définir consiste à introduire les polynômes
où les sont les polynômes de Lagrange définis précédemment et les sont des polynômes de degré tels que et pour tout tel que . Ainsi, par construction, on a : .
Le polynôme recherché s'écrit alors : .
Cette méthode apporte plus de régularité à l'interpolation. Elle reste cependant d'un faible intérêt pratique au regard des calculs qu'elle implique..
Applications
L'interpolation d'Hermite en deux points est la base des splines cubiques. Voir également l'article Spline cubique d'Hermite.
L'interpolation d'Hermite peut également être utilisée dans la résolution de problèmes aux limites non linéaires.
Notes et références
Lien externe
Catégorie:Interpolation polynomiale Catégorie:Charles Hermite