En théorie des graphes, un graphe régulier est un graphe où tous les sommets ont le même nombre de voisins, c'est-à-dire le même degré ou valence. Un graphe régulier dont les sommets sont de degré est appelé un graphe -régulier ou graphe régulier de degré .
Exemples
Un graphe 0-régulier est un ensemble de sommets déconnectés; un graphe 1-régulier a un nombre pair de sommets et est un ensemble d'arêtes déconnectées ou couplage ; enfin, un graphe 2-régulier est un ensemble de cycles déconnectés. Un graphe 3-régulier est aussi appelé graphe cubique.
Graphes fortement réguliers
Un graphe fortement régulier est un graphe régulier où chaque paire de sommets adjacents a le même nombre de voisins en commun et où chaque paire de sommets non-adjacents a le même nombre de voisins en commun. Les plus petits graphes qui sont réguliers sans être fortement réguliers sont le graphe cycle et le graphe circulant, tous deux à 6 sommets. Le graphe complet est fortement régulier pour tout
Existence Une condition nécessaire et suffisante pour l'existence d'un graphe -régulier à sommets est que soit pair et que .
Propriétés
Un théorème de Crispin Nash-Williams affirme que tout graphe -régulier ayant sommets admet un cycle hamiltonienUne preuve du théorème de Nash-Williams et l'article original : ..
Soit la matrice d'adjacence du graphe. Le graphe est régulier si et seulement si est un vecteur propre de . Lorsque c'est un vecteur propre, il correspond à une valeur propre qui est égale au degré du graphe.
Aspects algorithmiques Optimisation combinatoire De nombreux problèmes de graphes sont difficiles même si l'on se restreint à la classe des graphes réguliers. Plus précisément, la coloration, le problème du voyageur de commerce et le problème du stable maximum sont NP-difficiles pour les graphes réguliers et même pour les graphes k-réguliers avec k fixéPour k bien choisi, typiquement 3, 4 ou plus grand. Voir la page k-regular, fixed k sur Graphclasses.org, pour un résumé et les références..
Par contre le problème de l'isomorphisme de graphes peut être décidé en temps polynomial sur les graphes de degré borné, par exemple les graphes réguliersVoir . Cet article a permis à de recevoir le prix Fulkerson en 1985. Une description de l'idée de l'algorithme peut être trouvé dans , section 2.3..
Génération Des graphes réguliers peuvent être générés en utilisant le logiciel GenRegM. Meringer, J. Graph Theory, 1999, 30, 137..
Références
Voir aussi Bibliographie .
Articles connexes Graphe birégulier
Liens externes
Nash-Williams, Crispin (1969), "Valency Sequences which force graphs to have Hamiltonian Circuits", University of Waterloo Research Report, Waterloo, Ontario: University of Waterloo
Régulier Régulier