En mathématiques, une matrice hamiltonienne (ou de Hamilton) A est une matrice réelle 2n×2n satisfaisant la condition que le produit KA soit symétrique, K étant la matrice antisymétrique :
et In étant la matrice identité n×n. En d'autres termes, est hamiltonienne si et seulement si :
Dans l'espace vectoriel des matrices 2n×2n, les matrices hamiltoniennes forment un sous-espace vectoriel de dimension 2n2 + n.
Propriétés Soit une matrice par bloc 2n×2n donnée par :
où sont des matrices n×n. Alors est une matrice hamiltonienne à condition que soient symétriques et que . La transposée d'une matrice hamiltonienne est hamiltonienne. La trace d'une matrice hamiltonienne est nulle. Le commutateur de deux matrices hamiltoniennes est hamiltonien. Les valeurs propres de sont symétriques par rapport à l'axe imaginaire. L'espace des matrices hamiltoniennes est une algèbre de Lie <ref> Alex J. Dragt, [http://www.blackwell-synergy.com/doi/abs/10.1196/annals.1350.025 The Symplectic Group and Classical Mechanics']' Annals of the New York Academy of Sciences (2005) 1045 (1), 291-307. </ref>.
Opérateurs hamiltoniens Soit V un espace vectoriel, doté d'une forme symplectique . Une application linéaire est appelée opérateur hamiltonien par rapport à si l'application est symétrique. De manière équivalente, elle doit satisfaire :
Soit une base de V'' telle que soit écrite . un opérateur linéaire est hamiltonien par rapport à si et seulement si sa matrice dans cette base est hamiltonienne William C. Waterhouse, The structure of alternating-Hamiltonian matrices, Linear Algebra and its Applications, Volume 396, février 2005, Pages 385-390. Cette définition implique que le carré d'une matrice hamiltonienne est anti-hamiltonien. L'exponentiel d'une matrice hamiltonienne est symplectique, et le logarithme d'une matrice symplectique est hamiltonien.
Voir aussi Matrice symplectique
Références
Catégorie:Matrice