Cet article décrit des faits marquants de l'histoire des équations de l'Antiquité à aujourd'hui.
De l'Antiquité à la Renaissance
L'Antiquité right|180px|thumb|Le livre arithmetica de Diophante est le premier à décrire l'ajout d'une lettre à un ensemble de nombres. Égypte ancienne et Babylone Aussi loin que remontent les textes connus en mathématiques, on y trouve des questions que l'on modéliserait aujourd'hui par des équations algébriques. On lit, dans un papyrus de l'Égypte ancienne : , ., ce qui pourrait se traduire par . Aucun outil algébrique n'est alors développé. Les Égyptiens et les Babyloniens résolvent l'équation du premier degré par méthode de la fausse position et par division, en s’appuyant sur le fait qu’il suffit de multiplier par l’inverse.
Empire romain Au apr. J.-C., les écrits de Héron d'Alexandrie décrivent une méthode permettant l’approximation de la racine positive d’une équation telle que .
Chine En 263 Liu Hui, mathématicien chinois publia une estimation de π à 3,1416 , . à l'aide d'une méthode itérative.
Première théorie La première étape qui rapproche de l'ébauche d'une véritable théorie est franchie indépendamment par trois cultures mathématiques : la Grèce, la civilisation arabe et celle des Indes.
Diophante, un mathématicien du , formalise l’arithme, une lettre qu'il définitLa première inconnue par l'IREM de Poitiers, . comme : .
Le Moyen Âge Inde et Moyen-Orient
Avant que Diophante ne soit traduit en arabe., Al-Khawarizmi, 783 - 850, un mathématicien d'origine perse, développe au une idée analogue. Son inconnue s'appelle le say' Voir par exemple : R. Rashed Entre arithmétique et algèbre : recherches sur l'histoire des mathématiques arabes Paris, Les Belles lettres (1984).. La même idée est encore présente chez le mathématicien indien Bhāskara II, dans son texte intitulé BījagaṇitaL. Rodet, L’Algèbre d'Al-Khârizmi et les méthodes indienne et grecque, lire sur Gallica, ..
Les travaux d'Al-Khawarizmi sont souvent considérés comme l'acte de naissance de la branche des mathématiques appelée algèbre. En termes d'étymologie, le titre de son traité sur les équations : Kitâb al-jabr wa al-muqâbala utilise le terme al-jabr, devenu algèbre.
En arabe, al-jabr C. Drouin, Muhammad Al-Khâwârîzmî Équipe académique Mathématiques (2001). dans l'objectif d'obtenir uniquement des coefficients positifs. Par exempleL'exemple est tiré de la même source. : 2x2 + 100 – 20x = 58 devient par al-jabr : 2x2 + 100 = 58 + 20x.
Le travail d'Al-Khawarizmi est l'acte de naissance d'une théorie des équations quadratiques, dans l'ensemble des nombres positifs (presque toujours rationnels).. Al-Khawarizmi s'intéresse à toutes les équations du second degré alors que Diophante ne cherchait à résoudre que celles ayant des solutions, soit entières, soit rationnelles. Al-Khawarizmi est systématique, l'objet de son traité est d'offrir une méthode permettant de trouver à coup sûr, s'il en existe, une solution de l'équation.
La géométrie, et particulièrement celle des Éléments d'Euclide, écrits vers -300, joue un rôle fondamental dans cette algèbre naissante. Si l'angle d'analyse des arabes est différent, puisqu'ils cherchent à résoudre une équation, dans ce cas particulier du second degré, le cœur de la démonstration est le même : une analyse d'une configuration géométrique, construite sur la base d'un gnomon.
Omar Khayyam remarque qu'il est possible d'interpréter la racine de l'équation cubique comme l'abscisse de l'intersection d'un cercle et d'une paraboleVoir à ce sujet l'article : Algèbre géométrique (mathématiques élémentaires).. Ce qui montre déjà l'usage de ce que l'on appellera plus tard un repère cartésien et permet de remarquer l'existence possible de plusieurs solutions.. Deux siècles plus tard, profitant des progrès tant algébrique que géométrique, Nasir ad-Din at-Tusi développe plusieurs outils de la théorie des équations dans le cadre de l'équation cubique. Son successeur Sharaf al-Dîn al-Tûsî () va étudier de façon plus rigoureuse les conditions d’existence de solutions ; ceci va l’amener à se pencher sur des problèmes de localisation et de séparation des racines, l’obliger à définir la notion de maximum d’une expression algébrique (en introduisant la dérivée formelle d’un polynôme). Une autre innovation d’al-Tûsî consiste à traiter, en même temps que la résolution géométrique, la résolution numérique des équations du troisième degré.
Europe Vers l'an mil, le pape Sylvestre II fait adopter les chiffres arabes issus de la numération indienne.
Extrême-Orient En parallèle avec l'Europe et le Moyen-Orient, en Chine des algorithmes de résolution d'équations sont développés.
Un système de résolution d'équations linéaires aurait été publié dès la Dynastie Han, mais elle n'étend pas la définition des nombres aux valeurs négatives. Cette information n'est plus mentionnée durant des siècles et pourrait avoir été partiellement oubliée..
En 1303, Zhu Shijie, mathématicien chinois publie Miroir précieux des quatre éléments qui inclut une explication de sa méthode des quatre éléments, qui sont utilisés pour signifier quatre quantités inconnues dans une seule équation algébrique. Il inclut les nombres négatifs.. Ce savoir semble s'être à nouveau estompé jusqu'à l'arrivée des jésuites en Chine à la fin du .
La Renaissance Europe Vers 1450, Johannes Gutenberg invente l'imprimerie, permettant dès le début du de diffuser les documents écrits à une très large échelle. À travers l'impression des textes de Fibonacci ou encore de Luca Pacioli, l'Italie a accès à l'essentiel du savoir arabe. Les mathématiciens d'alors se passionnent pour l'algèbre et surtout, pour le problème encore laissé ouvert : trouver une méthode générale et exacte de résolution de l'équation cubique.
Scipione del Ferro trouve comme formule de résolution de l'équation :
Une question reste ouverte, comment résoudre l'équation si ? Tartaglia, un maître en la matière, qualifie l'équation d' irréductible. Girolamo Cardano généralise la formule de Tartaglia et lui adjoint des nombres imaginaires pour résoudre des cas qualifiés alors d'irréductibles.
Une nouvelle étape est franchie dans la théorie des équations. Si la signification précise de l'expression reste mystérieuse, l'idée de faire appel à un ensemble de nombres plus grand pour résoudre une question en théorie des équations est découverte. Un élève de Cardano, Ludovico Ferrari finit par résoudre l'équation quartique, en 1540Lodovico Ferrari Encyclopædia Britannica.. Bombelli propose un formalisme autorisant l'existence de nombres négatifs et imaginaires.
L'article Méthode de Cardan présente la solution, en terme contemporain, de l'équation cubique et celui intitulé Méthode de Ferrari celle du quatrième degré.
Extrême-Orient Vers 1590, une mission jésuite, dont fait partie Matteo Ricci, arrive en Chine et échange des informations scientifiques avec les savants de la Dynastie Ming. Il faut savoir que la capacité à déterminer les faits célestes avec précision sont essentiels au pouvoir de l'empereur de Chine et les jésuites utilisent leurs compétences en horlogerie et en géométrie pour accéder à la cité interdite et avoir les faveurs de l'empereurDaniel Boorstin, Les Découvreurs, Éditions Stegers, 1983, .. Mei Wending comparera le savoir obtenu des occidentaux au savoir ancestral des chinois et conclura. :
J'ai commencé à me persuader que les différentes constructions de la géométrie étaient compréhensibles, tandis qu'eux [les Occidentaux] en font un enseignement secret des Dieux, et que nous [Chinois] les rejetons en tant qu'hérésie. Ni les uns ni les autres n'ont sur la géométrie un jugement équilibré.
Les équations différentielles La résolution mécanique
Comme le dit lui-même Newton, il est utile de résoudre des équations différentielles. Dès lors que l'analyse prit son essor sous l'impulsion de Newton, Leibniz et des Bernoulli, on s'est préoccupé de résoudre des problèmes de géométrie avec cet outil. Et plus encore, avec des outils mécaniques. De 1692 à 1752, pendant soixante ans, on a développé toute une industrie mécanique destinée à résoudre graphiquement les équations différentielles. Le traité de Vincenzo Riccati, De usu motus tractorii in constructione æquationum differentialium, publié en 1752 est à ce titre tout à fait remarquable d'une technique ayant atteint son sommet et qui va disparaître totalement dans les méandres du temps au point que lorsque de nouveau le besoin se fait sentir d'avoir des outils mécaniques, les intégraphes, entre 1880 et 1920, on retrouvera les anciennes solutions sans savoir que de telles solutions existaient plus d'un siècle avant. L'analyseur différentiel est l'aboutissement de cette méthode.
La résolution analogique De la même manière, on a cherché à résoudre de manière analogique les équations aux dérivées partielles en se servant des phénomènes physiques à l'origine de ces équations. Ainsi, l'équation de Laplace se résout-elle par une analogie électrique et cette méthode était enseignée au niveau universitaire au moins au milieu des années 1970. Des calculateurs électroniques analogiques ont vu le jour. Le premier par Helmut Hoelzer date de la fin des années 1930 et du début des années 1940 pour les études des V1, V2, et V3 du Troisième Reich. L'élément essentiel de ces dispositifs à lampes, ou à transistors par la suite, est l'amplificateur opérationnel.
Les équations différentielles au et au Les problèmes posés ou menant à des équations différentielles sont aussi vieux que l'analyse elle-même. Avant même qu'on ait complètement élucidé la question des infiniment petits et trouvé des fondements (provisoires), l'on se préoccupe déjà de résoudre des problèmes de tangente, qui mènent invariablement à une équation différentielle. De la même manière, dès les débuts de la mécanique classique, dite newtonienne, on cherche à résoudre des problèmes de n points matériels qui tous mènent à l'intégration d'un système de 3n équations différentielles du second ordre, où les inconnues sont des fonctions du temps représentant des coordonnées des points.
On s'habitue progressivement à ce que l'inconnue d'une équation puisse être une fonction. La fonction a encore à cette époque, et pour longtemps un statut flou. Même les fonctions élémentaires ne sont pas exemptes de problèmes. Une longue polémique occupe toute l'Europe mathématique sur la question des logarithmes des nombres négatifs. Leibniz s'oppose ainsi à Euler qui est le seul à entrevoir la bonne réponse.
Pour un mathématicien de la fin du ou du début du , résoudre une équation différentielle consiste à écrire la solution générale de l'équation, et de préférence en termes finis et avec des fonctions élémentaires. Il n'est ici pas question de problème de conditions initiales.
On utilise à cette époque, sans formalité, la méthode des séries entières pour résoudre les équations différentielles. On ne se préoccupe aucunement de la convergence de ces séries qui sont censées converger tout le temps. Même Euler, le plus grand mathématicien du , ne voit pas le problème. Il va jusqu'à intégrer et dériver des séries dont le rayon de convergence est 0, sans même s'apercevoir qu'il a trouvé ainsi des contre-exemples à la croyance de l'époque que la série de Taylor converge. Quand il est confronté au calcul numérique sur de telles séries non convergentes, son flair de mathématicien lui indique qu'il convient de s'arrêter au terme le plus faible en valeur absolue. Les séries asymptotiques ne sont pas loin mais il faudra encore du temps pour la conceptualisation de la question qui ne sera réellement abordée qu'un siècle plus tard. Stirling de son côté, avec de Moivre, interpolent la fonction factorielle dont Euler donnera une représentation intégrale. Là encore, il s'agit d'un développement asymptotique.