Le flot, coulée ou encore courant est, en mathématiques, un concept fondamental utilisé en géométrie différentielle.

La notion de flot permet notamment de modéliser le déplacement dans le temps des éléments d'un fluide. Pour ce faire, on crée une application α qui, à chaque point x de l'espace concerné par l'écoulement, associe un autre point α(x,t), correspondant à la position qu'aurait une particule du fluide à l'instant t, si elle avait été située en x à l'instant 0.

thumb|Flot associé à l'équation différentielle d'un pendule. Les abscisses représentent la position et les ordonnées la vitesse.

Le flot est associé à la notion de champ de vecteurs, c'est-à-dire à une application f, qui, à un point x d'un ouvert Ω d'un espace de Banach E, associe un vecteur de E. Un tel champ définit une équation différentielle du type α'(t) = f(α(t)), (c'est-à-dire, dans l'exemple du fluide, que la fonction f associe au point x à l'instant t, ses direction et vitesse de déplacement). Si la fonction f est localement lipschitzienne, pour chaque point x de Ω, il existe une solution maximale α du problème de Cauchy constitué de cette équation différentielle et de la condition dite de Cauchy α(0) = x. Vue comme une fonction de deux variables, t et x, l'application α est appelée le flot du champ f de vecteurs. Cette définition se généralise dans le cas d'un champ de vecteurs temporel (c'est-à-dire dépendant d'une variable t qui prend ses valeurs dans R) et dépendant d'un paramètre λ. Le flot et le champ de vecteurs deviennent des fonctions de trois variables : t, x et λ.

Si le champ de vecteurs f est régulier, le flot est le support de plusieurs théorèmes, piliers de la théorie des équations différentielles. Si la fonction f est de classe C, le flot l'est aussi. Ce résultat est parfois considéré comme une forme avancée du théorème de Cauchy-Lipschitz. Si la fonction f ne dépend pas du temps, le théorème du redressement du flot indique que, localement, le champ de vecteurs est équivalent à un champ constant et cette équivalence transforme le flot en une fonction qui à (x, t) associe x + tv, où v est l'unique image du champ constant.

Le flot est utilisé dans diverses branches des mathématiques. En analyse qualitative des équations différentielles, il est le cadre d'expression de théorèmes, comme celui de Poincaré-Bendixson. On trouve la notion de flot de manière générale dans l'étude d'un système dynamique continu. En topologie algébrique, il est utilisé pour démontrer le théorème de la boule chevelue ou encore celui du point fixe de Brouwer ; des applications plus avancées définissent des flots caractéristiques de la géométrie des objets étudiés, tels que le flot de Ricci, outil de base utilisé par Grigori Perelman pour démontrer la conjecture de Poincaré. L'usage du flot dépasse le cadre strict des mathématiques ; ainsi, le flot de Ricci est à l'origine d'un des modes d'expression des équations de la relativité générale en physique.

Définitions Introduction Dans la suite de l'article, E désigne un espace de Banach. Le symbole (1) désigne l'équation différentielle x' = f(x), où f est fonction définie sur un ouvert Ω de E et à valeurs dans E et (2) l'équation x' = f(t, x). Dans le cas de l'équation (2), Ω désigne un ouvert de R×E et f est toujours une fonction définie sur Ω et à valeurs dans E. La condition de Cauchy appelée C dans l'article, est celle que vérifie une solution s de l'équation. Dans le cas de (1), elle signifie que s(0) = x0, dans le cas (2) les notations choisies sont : s(t0) = x0Les différentes définitions du vocabulaire utilisé ici sont données dans l'article « Théorème de Cauchy-Lipschitz ».. Il existe un troisième cas, plus général et qui permet en particulier l'étude des singularités de certaines équations différentielles. L'équation (3) est : x' = f(t, λ, x). Dans ce cas, Ω est un ouvert de R×F×E, où F est encore un espace de Banach. Dans les trois cas, la fonction f est supposée au moins continue, et localement lipschitzienne par rapport à x.

Le flot permet de formaliser un vocabulaire adapté pour l'étude de deux questions concernant les équations différentielles : la sensibilité à la condition initiale et le comportement asymptotique. Ces questions sont au cœur d'une branche mathématique appelée système dynamique.

Si la condition initiale, dite condition de Cauchy, est un peu modifiée, il se peut que la solution de l'équation soit de plus en plus éloignée de la courbe intégrale originelle, si la variable t augmente. Tel est le cas, par exemple, pour les systèmes chaotiques. L'étude de la régularité du flot apporte des premiers éléments de réponse.

Dans certaines conditions et pour une condition initiale donnée, la solution se prolonge à l'infini et « se stabilise » plus ou moins. Elle peut converger vers une valeur, s'approcher de plus en plus d'un comportement périodique, diverger ou encore adopter un comportement différent et appelé chaotique. L'étude de ces différents comportements est l'objet de la seconde question.

Sensibilité à la condition initiale thumb|Pour l'étude de la sensibilité initiale, on étudie les flots locaux ou globaux, qui permettent d'énoncer une version plus forte du théorème de Cauchy-Lipschitz. L'étude de la sensibilité à la condition initiale impose un vocabulaire et une représentation géométrique un peu différents de ceux utilisés dans les approches plus élémentaires. Pour comprendre l'origine de cette différence, le plus simple est de considérer le cas d'une équation différentielle autonome, c'est-à-dire de type (1), d'imaginer que Ω est un plan d'eau et que R représente le temps. le plan d'eau est agité par un courant, représenté par la fonction f, appelée champ de vecteurs. En dimension 2, on représente ce champ de vecteurs en associant à certains points x de Ω une représentation graphique du vecteur f(x), à l'image de la figure de droite. Une courbe intégrale satisfaisant à la condition de Cauchy C peut s'imaginer comme la trajectoire d'un bouchon placé dans l'eau à l'instant initial 0 et à la position x0. Pour connaître d'un seul coup toutes les solutions de l'équation différentielle, il suffit de connaître le mouvement de la surface de l'eau, appelé flot, coulée ou encore courant.. Dans le cas général de l'équation (2), c'est-à-dire celui où l'équation n'est pas nécessairement autonome, on dispose de la définition suivante :

Soit U un voisinage de x0 tel que {t0}×U soit inclus dans Ω et J un intervalle ouvert contenant t0. Un flot local est la donnée d'une application βt0 de J×U dans E tel que pour tout x de U, l'application de J dans E, qui à t associe βt0(t, x) soit une courbe intégrale de condition de Cauchy (t0, x) (c'est-à-dire que βt0(t0, x) = x)..

Le théorème de Cauchy-Lipschitz garantit l'existence de courbes intégrales maximales. C'est-à-dire que, pour une condition de Cauchy donnée, il existe un intervalle maximal, une unique solution de l'équation définie sur cet intervalle et vérifiant la condition de Cauchy. Ce résultat permet d'enrichir les définitions associées au flot.

Soit x un point de E et J l'intervalle égal au domaine de définition de la solution maximale satisfaisant la condition de Cauchy (t0, x), qui peut être vide si, par exemple, (t0, x) n'est pas élément de Ω. On note D(f) et .

de D(f) dans E, telle que l'application qui à t associe αt0(t, x) soit la solution maximale de (2) associée à la condition de Cauchy (t0, x)..

Dans toute la suite de l'article α désigne le flot global du champ vectoriel f. Si α ne comporte pas d'indice, cela signifie que la fonction qui à t associe α(t, x) est la courbe intégrale maximale s vérifiant la condition de Cauchy : s(0) = x. Sinon, αt0 désigne le flot global vérifiant αt0(t0, x) = x.

Comportement asymptotique La deuxième question concerne le comportement asymptotique. du flot, autrement dit ce qui se passe une fois le système stabilisé, si jamais il se stabilise. Pour la traiter, un vocabulaire spécifique existe ; il suppose en général que l'équation différentielle considérée est autonomeC'est le choix de ., c'est-à-dire de type (1) .

L'orbite ou la trajectoire d'un point x de Ω est l'image d'une courbe intégrale maximale passant par x.

Le théorème de Cauchy-Lipschitz montre que les orbites forment une partition de Ω.

Un ensemble invariant par le flot. est une réunion d'orbites.

Pour reprendre la métaphore de l'introduction, un ensemble A est invariant par le flot si un bouchon qui est dans A y a toujours été et y restera toujours. : on peut limiter l'étude du comportement asymptotique à une telle zone.

Un point de x de Ω est dit point d'équilibre, point fixe ou point stationnaire si son orbite est réduite au singleton {x} ou encore si x est un zéro de la fonction f. S'il existe un voisinage de x tel que toute courbe intégrale maximale qui rencontre ce voisinage converge vers x, le point est dit attractif.

Un point d'équilibre x est un point sans courant, ou encore un point tel que, si l'on y place le bouchon, il reste indéfiniment immobile. Deux comportements différents peuvent se produire, le point peut être attractif ou non. Il peut exister une zone pas trop petite (d'intérieur non vide) tel que tout point dans cette zone finit par s'immobiliser en x. Ce point semble « attirer » les trajectoires vers lui, pour cette raison, on parle de point attractif. Sinon, tout point se rapprochant de x finit par s'éloigner, ce point d'équilibre est alors instable et il faut positionner le bouchon exactement sur le point pour qu'il y reste immobile. Dans le cas général, d'autres comportements que la convergence sont possibles :

Soit s une courbe intégrale définie sur R. Lorsque s admet une limite en et en , l'orbite est dite hétérocline si les deux limites sont distinctes et homocline sinon. Si s est périodique, l'orbite est dite périodique. L'ensemble ω-limite. de l'orbite est l'ensemble des valeurs d'adhérence de la fonction s en . On le note ω(x), où x est un point quelconque de l'orbite. On définit de même l'ensemble α-limite α(x) comme l'ensemble des valeurs d'adhérence de s en . Ces deux ensembles sont invariants par le flot. Si l'orbite est périodique, ses deux ensembles limites lui sont égaux.

Une notion connexe est celle d'attracteur. L'attracteur futur est le plus petit ensemble contenant tous les ensembles ω(x) si x décrit Ω, à l'exception, peut-être d'un ensemble de mesure nulle. L'attracteur passé correspond à la même définition, mais cette fois-ci avec les ensembles α-limites.

Sensibilité à la condition initiale Résumé

Dans sa version élémentaire, le théorème de Cauchy-Lipschitz montre l'existence et l'unicité d'une courbe intégrale maximale. On peut alors définir le flot global α comme la fonction qui, à un triplet (t, t, x) avec (t, x) élément de Ω, associe (lorsqu'elle est définie) la valeur en t de la solution maximale du problème de Cauchy x = f(t, x), x(t) = x. On sait déjà que par rapport à t, α est de classe C si f est de classe C, mais on va préciser son comportement par rapport au triplet (t, t, x) :

Le flot global est défini sur un ouvert et localement lipschitzien, le démontrent dans le cas particulier où (localement) f est lipschitzienne par rapport à (t, x), et pas seulement par rapport à x pour t fixé.. Si la fonction f est de classe C, il en est de même du flot global, pour une équation autonome..

Pour certaines études, comme celles analysant des singularités de courbes intégrales, il est utile d'ajouter un paramètre à l'équation, qui prend la forme : x' = f(t, x, λ). Le flot global dépend alors du paramètre λ, choisi dans un Banach F. La question est celle de la régularité du flot global en fonction du paramètre. Le théorème décrivant cette situation est parfois dénommé . Si la fonction f est de classe C, le flot, considéré comme une application sur un ouvert de R×R×E×F, est aussi de classe C.

Continuité du flot