vignette|Raisonnement mathématique sur un tableau concernant le processus de Galton-Watson. Les mathématiques (ou plus rarement la mathématique ) sont un ensemble de connaissances abstraites résultant de raisonnements logiques appliqués à des objets divers tels que les ensembles mathématiques, les nombres, les formes, les structures, les transformations ; ainsi qu'aux relations et opérations mathématiques qui existent entre ces objets. Elles sont aussi le domaine de recherche développant ces connaissances, ainsi que la discipline qui les enseigne.
Les mathématiques possèdent plusieurs branches telles que : l'arithmétique, l'algèbre, l'analyse, la géométrie, la logique mathématique, les probabilités Il existe également une certaine séparation entre les mathématiques pures et les mathématiques appliquées.
Les mathématiques se distinguent des autres sciences par un rapport particulier au réel car l'observation et l'expérience ne s'y portent pas sur des objets physiques ; les mathématiques ne sont pas une science empirique. Elles sont de nature entièrement abstraite, fondées sur des concepts définis et des axiomes déclarés vrais (appelés aussi postulats). Ces axiomes, qui sont des propriétés d'objets abstraits ou des relations que ces objets entretiennent entre eux, constituent les fondements et ne dépendent donc d'aucune autre proposition. Un énoncé mathématique est considéré comme valide lorsque le discours formel qui établit sa vérité respecte une certaine structure rationnelle appelée démonstration, ou raisonnement logicodéductif. Un énoncé qui n'a pas encore fait l'objet d'une démonstration mais qui est néanmoins considéré plausible est appelé conjecture.
Bien que les résultats mathématiques soient des vérités purement formelles, ils trouvent des applications dans les autres sciences et dans différents domaines de la technique. C'est ainsi qu'Eugene Wigner déclare que la ..
Étymologie Le mot « mathématique » vient du grec par l'intermédiaire du latin. Le mot () est dérivé du verbe () (« apprendre »). Il signifie « science, connaissance » puis « mathématiques » de () ; il a donné naissance à l'adjectif (), d'abord « relatif au savoir » puis « qui concerne les sciences mathématiques ». Cet adjectif a été adopté en latin () et dans les langues romanes par la suite (« mathématique » en français, en italien), ainsi que dans de nombreuses autres langues , ..
La forme neutre pluriel de l'adjectif a été substantivée en () pour désigner les sciences mathématiques dans leur ensemble. Cette forme, utilisée par Aristote, explique l'usage du pluriel pour le substantif en latin chez Cicéron () puis en français et dans certaines autres langues européennes.
L'usage du pluriel est un héritage de l'époque antique, où le quadrivium regroupait les quatre arts dits « mathématiques » : l'arithmétique, la géométrie, l'astronomie et la musique. Le singulier (« la mathématique ») est parfois employé en français, mais « le mot donne alors au contexte une teinte d'archaïsme ou de didactisme ». Toutefois, certains auteurs, à la suite de Nicolas Bourbaki, insistent sur l'utilisation du singulier, pour montrer l'uniformisation apportée par l'approche axiomatique contemporaine : Jean Dieudonné semble être le premier à avoir insisté sur ce point, et le vaste traité de Bourbaki (dont il est l'un des principaux rédacteurs) s'intitule Éléments de mathématique, tandis que, par contraste, le fascicule historique qui l'accompagne a pour titre Éléments d'histoire des mathématiques. Cédric Villani préconise l'utilisation du singulier pour affirmer l'unité du domaine.
Dans le registre familier, et notamment scolaire, les mathématiques sont fréquemment désignées par l'apocope « maths », parfois écrite « math ».
Histoire
thumb|upright|Un portrait d'Euclide de Mégare, qui représente en fait le mathématicien Euclide.
Il est probable que l'être humain a développé des compétences mathématiques avant l'apparition de l'écriture. Les premiers objets reconnus attestant de compétences calculatoires sont les bâtons de comptage, tels que l'os d'Ishango (en Afrique) datant de avant notre ère. Le développement des mathématiques en tant que connaissance transmise dans les premières civilisations est lié à leurs applications concrètes : le commerce, la gestion des récoltes, la mesure des surfaces, la prédiction des événements astronomiques, et parfois l'exécution de rituels religieux.
Les premiers développements mathématiques concernaient l'extraction des racines carrées, des racines cubiques, la résolution d'équations polynomiales, la trigonométrie, le calcul fractionnaire, l'arithmétique des entiers naturels… Ils s'effectuèrent dans les civilisations akkadienne, babylonienne, égyptienne , ., chinoise ou encore de la vallée de l'Indus.
Dans la civilisation grecque, les mathématiques, influencées par les travaux antérieurs et les spéculations philosophiques, recherchent davantage d'abstraction. Les notions de démonstration et de définition axiomatique sont précisées. Deux branches se distinguent, l'arithmétique et la géométrie. Au , les Éléments d'Euclide (site interactif). résument et ordonnent les connaissances mathématiques de la Grèce. Hypathie (née entre 355 et 370 - 415, Alexandrie), est la première mathématicienne dont la vie est bien documentée.
thumb|upright|left|Une page du traité de Al-Khwārizmī. Les mathématiques chinoises et indiennes (plus précisément de la vallée de l'Indus) sont parvenues en occident par la civilisation islamique à travers la conservation de l'héritage grec et l'interfécondation avec les découvertes, notamment en matière de représentation des nombres. Les travaux mathématiques sont considérablement développés tant en trigonométrie (introduction des fonctions trigonométriques) qu'en arithmétique. L'analyse combinatoire, l'analyse numérique et l'algèbre polynomiale sont inventées et développées.
Durant la « renaissance du », une partie des textes grecs et arabes sont étudiés et traduits en latin. Le savoir est unifié dans la scolastique, réconciliation du christianisme et de la philosophie d'Aristote. La scolastique est alors enseignée dans les universités européennes à partir du . La recherche mathématique se concentre en Europe.
Au se développe - avec notamment Pierre de La Ramée - l'idée qu'il existe une « science universelle » () sur laquelle il serait possible de fonder l'ensemble des connaissances. Parallèlement, la scolastique fondée sur une philosophie spéculative perd de son prestige et l'aristotélisme est battu en brèche, à l'occasion de la controverse ptoléméo-copernicienne du , remettant en cause le postulat antique et médiéval selon lequel la Terre est au centre de l'univers physique (géocentrisme).
Au , Galilée se rend compte que les mathématiques sont un outil approprié pour décrire le monde physique, ce qu'il résume dans son ouvrage L'Essayeur publié en 1623 en affirmant que « le livre de l'Univers est écrit en langue mathématique ». Les mathématiques constituent donc, avec la démarche expérimentale, l'un des deux piliers du développement de la science moderne. Descartes voit dès 1629, dans les Règles pour la direction de l'esprit, les possibilités qu'offrent les mathématiques pour jouer ce rôleMichel Paty, et intelligibilité chez Descartes .. Descartes souligne, dans le Discours de la méthode, l'attrait des mathématiques, « à cause de la certitude et de l'évidence de leurs raisons ». Le calcul algébrique se développe alors à la suite des travaux de Viète et de Descartes. Newton et Leibniz, indépendamment, inventent le calcul infinitésimal.
thumb|upright|David Hilbert, mathématicien allemand. Au cours du et du , les mathématiques connaissent de forts développements avec l'étude systématique des structures, à commencer par les groupes issus des travaux de Galois sur les équations polynomiales, et les anneaux introduits par Dedekind. Wang Zhenyi, développe une théorie permettant de mieux comprendre les éclipses lunaires.
Le voit avec Cantor et Hilbert le développement d'une théorie axiomatique sur tous les objets étudiés, soit la recherche des fondements mathématiquesConférence sur les fondements des mathématiques, par Jean-Yves Girard, 17 juin 2002, Université de tous les savoirs.. Ce développement de l'axiomatique conduira plusieurs mathématiciens du à chercher à définir toutes les mathématiques à l'aide d'un langage, la logique mathématique.
Le connaît un fort développement en mathématiques avec une spécialisation des domaines, et la naissance ou le développement de nombreuses branches (théorie de la mesure, théorie spectrale, théorie du chaos, topologie algébrique et géométrie algébrique, par exemple),. L'informatique a eu un impact sur la recherche. D'une part, elle a facilité la communication et le partage des connaissances, d'autre part, elle a fourni un outil appréciable pour la confrontation aux exemples. Ce mouvement a conduit à la modélisation et à la numérisation.
Domaines Des découpages des mathématiques en deux, trois ou quatre domaines différents sont proposés : algèbre et analyse, ou bien algèbre, analyse et géométrie, ou bien algèbre, analyse, géométrie et probabilités. De tels découpages ne sont pas évidents et les frontières les séparant sont toujours mal définies. En effet, de nombreux résultats font appel à des compétences mathématiques variées. Le théorème de Fermat-Wiles, établi en 1994, en est un exemple. Bien que l'énoncé en soit formulé de manière dite arithmétique, la preuve nécessite de profondes compétences en analyse et en géométrie.
Domaines fondamentaux L'algèbre est l'ensemble des méthodes mathématiques visant à étudier et développer les structures algébriques et à comprendre les relations qu'elles entretiennent entre elles. L'algèbre, au sens actuel, trouve historiquement ses origines dans la compréhension des équations polynomiales et dans les développements des méthodes de résolution : les recherches dans ces domaines ont suscité l'émergence des notions qui fondent la théorie des groupes, la théorie de Galois ou encore la géométrie algébrique.
En un sens très restrictif, l'analyse est la partie des mathématiques s'intéressant aux questions de régularité des applications d'une variable réelle ou complexe : on parle alors plus volontiers d'analyse réelle ou d'analyse complexe. En un sens élargi, elle englobe toutes les méthodes mathématiques qui s'y apparentent, et un certain nombre de méthodes pour comprendre et analyser les espaces de fonctions.
La géométrie tente de comprendre en premier lieu les objets dans l'espace, puis par extension s'intéresse aux propriétés d'objets plus abstraits, à plusieurs dimensions, introduits selon plusieurs approches, relevant autant de l'analyse que de l'algèbre.
Les probabilités tentent de formaliser tout ce qui relève de l'aléatoire. Bien qu'elles soient anciennes, elles ont connu un renouveau avec la théorie de la mesure.
Les statistiques consistent à recueillir, traiter et synthétiser un ensemble de données, généralement nombreuses.
Exemples de domaines transversaux thumb|upright|Charles Gustave Jacob Jacobi, connu pour ses développements en théorie analytique des nombres, entre analyse complexe et arithmétique.
De nombreux domaines de recherche se situent transversalement par rapport au découpage donné ci-dessus : Les mathématiques discrètes (associées à l'essor de l'informatique) sont l'exemple le plus typique de découpage transversal car elles dressent un clivage dans presque toutes les branches des mathématiques (groupes finis, probabilités discrètes, géométrie discrète, optimisation linéaire en nombres entiers, nouvelles branches de l'algèbre : monoïdes, dioïdes…). La théorie des nombres (qui généralise l'arithmétique élémentaire) utilise tout autant des méthodes analytiques que des méthodes algébriques avancées, pour résoudre des problèmes qui peuvent souvent être énoncés de façon élémentaire.