Le théorème de Thalès est un théorème de géométrie plane, qui affirme qu'une droite parallèle à l'un des côtés d'un triangle définit, avec les droites des deux autres côtés, un nouveau triangle dont les côtés sont proportionnels à ceux du premier (voir énoncé précis ci-dessous). En anglais, il est souvent appelé (soit « théorème d'interception »), et en allemand (« théorème des demi-droites ») ou Vierstreckensatz, (« théorème des quatre segments »).
L'attribution du théorème à Thalès, philosophe et mathématicien grec du , n'est pas retenue par les historiens. Elle s'explique probablement par une légende rapportée par Plutarque selon laquelle Thalès aurait calculé la hauteur d'une pyramide par proportionnalité, en mesurant la longueur de son ombre au sol et la longueur de l'ombre d'un bâton de hauteur connue.
La démonstration écrite la plus ancienne connue de ce théorème apparait vers 300 dans les Éléments d'Euclide ( du livre VI). Elle utilise la proportionnalité d'aires de triangles de hauteur égale (voir ci-dessous le détail de la preuve).
Le théorème de Thalès permet de calculer des longueurs en trigonométrie, à condition de disposer de deux droites parallèles. Cette propriété est utilisée dans des instruments de calcul de longueurs.
Plus abstraitement le théorème de Thalès est essentiellement un résultat de géométrie affine, où il correspond à la conservation par projection des rapports de mesures algébriques entre points alignés. Il se généralise en dimension supérieure. En géométrie projective il se généralise à la conservation du birapport par projection conique.
En allemand, et souvent en anglais, le théorème de Thalès désigne un autre théorème de géométrie qui affirme qu'un triangle inscrit dans un cercle, et dont un côté est un diamètre, est un triangle rectangle ; ce dernier, cas particulier du théorème de l'angle inscrit, est parfois appelé en France théorème de l'angle inscrit dans un demi-cercle.
Énoncés et enseignement En pratique, le théorème de Thalès permet de calculer des rapports de longueur et de mettre en évidence des relations de proportionnalité en présence de parallélisme.
Pour la première égalité il est possible de changer l'ordre des trois points sur chaque droite (de façon cohérente), mais la deuxième égalité n'est correcte que pour le rapport indiqué, celui où l'on part du point A commun aux deux droites, par exemple : , mais (et ). D'autres égalités se déduisent par échange des termes dans les égalités de rapport précédentes, ainsi : .
Deux configurations possibles du théorème de Thalès :
Ce théorème démontre que les triangles ABC et ADE sont homothétiques : il existe une homothétie de centre A envoyant B sur D et C sur E. L'un des rapports donnés ci-dessus est, au signe près, le rapport de l'homothétie. Plus précisément, le rapport de l'homothétie est dans la première configuration et dans la seconde. Le théorème de Thalès est parfois énoncé en affirmant qu'une droite parallèle à un des côtés du triangle coupe ce triangle en un triangle semblable.
Il peut être mis en œuvre dans différentes constructions géométriques à la règle et au compas. Par exemple, il peut justifier une construction permettant de diviser un segment en un nombre donné de parts égales.
Rigoureusement, l'énoncé ci-dessus donné nécessite l'utilisation d'une distance euclidienne pour donner un sens aux longueurs mentionnées (AB, BC…). Un énoncé plus précis utilise la notion de mesure algébrique plutôt que de longueur, et se généralise à la géométrie affine (où le rapport de mesures algébriques a un sens).
Théorème réciproque Le théorème de Thalès (en dimension 2), dans son sens direct, permet de déduire certaines proportions dès que l'on connaît un certain parallélisme. Le sens direct (et non la réciproque) permet également par contraposée, de démontrer que les droites (ou segments) concernés ne sont pas parallèles quand il n'y a pas l'égalité de certains rapports. Sa réciproque permet de déduire un parallélisme dès que l'on connaît l'égalité de certains rapports.
La démonstration de cette réciproque se déduit du théorème. En effet, considérons un point E' du segment [AC] tel que (DE) soit parallèle à (BC). Alors les points A, E' et C sont alignés dans cet ordre et donc . Or il n'existe qu'un seul point situé entre A et C vérifiant cette propriété donc E' = E. Par conséquent, (DE) = (DE) est parallèle à (BC).
Théorème de la droite des milieux
Le théorème des milieux et sa réciproque sont une spécialisation de la réciproque du théorème de Thalès et du théorème lui-même, pour laquelle les points D et E correspondent aux milieux des segments [AB] et [AC]. Si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle, elle est parallèle à la droite qui supporte le troisième côté ; et la longueur joignant les milieux des deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté :
La réciproque du théorème de Thalès garantit que les deux droites sont parallèles ; de plus, le théorème de Thalès s'applique et il vient : .
Enseignement et appellations
Ce théorème est connu aujourd'hui sous le nom de théorème de Thalès dans l'enseignement des mathématiques en FrancePar exemple à l'époque où Jean-Pierre Kahane établit son rapport , le résultat dans la première configuration et le théorème de la droite des milieux sont enseignés dès la classe de quatrième française et le « théorème de Thalès » à proprement parler et sa réciproque dans la classe de troisième française. et dans d'autres pays. Aucune source ancienne ne permet cependant de l'attribuer à ThalèsVitrac, note 17 dans .. Très vraisemblablement cette attribution repose-t-elle sur une mauvaise interprétation de quelques témoignages anciens, et eux-mêmes contestables, à propos d'une supposée mesure par celui-ci de la hauteur des pyramidesVoir la partie #Le calcul de la hauteur d'une pyramide, une légende pour des précisions..
Les anciens n'attribuaient pas de nom propre à leurs théorèmes, Sur l'origine de l'appellation « théorème de Thalès ».. Plusieurs auteurs du appellent théorème de Thalès la propriété (plus générale) que « dans les triangles l'égalité des angles entraîne la proportionnalité des côtés et réciproquement » (voir Triangles semblables) p. 136 pour cette citation précise et l'attribution à Thalès, p. 229 pour la dénomination « théorème de Thalès », dénomination que l'on retrouve déjà, associée au même théorème dans la première édition de 1864, p. 229, mais aussi chez d'autres auteurs, , Auguste Comte en 1853. Toutes ces citations sont reprises de , Sur l'origine de l'appellation « théorème de Thalès ».. Deux manuels d'enseignement de la fin du appellent théorème de Thalès un théorème dans le triangle proche de celui du présent article..
Cependant, la référence à Thalès n'a alors rien d'universelle. L'historien des mathématiques Paul Tannery réfute l'attribution de tels théorèmes à Thalès dans un ouvrage paru en 1887.. Plusieurs traités de géométrie élémentaire de la fin du ou de la première moitié du ne mentionnent pas Thalès pour ces résultats. C'est le cas par exemple du manuel de Jacques Hadamard paru en 1898 et de nombreuses fois réédité ensuite., où la propriété que « deux sécantes quelconques sont coupées en parties proportionnelles par des droites parallèles » est le « théorème fondamental » du chapitre premier du livre III, intitulé « lignes proportionnelles » ; elle est utilisée pour démontrer p. 109 puis p. 131 que ..
Le « théorème de Thalès » finit par s'imposer en France, au cours du , où il est utilisé soit pour le théorème sur le triangle et la parallèle à l'un des côtés, soit pour celui sur les deux sécantes découpées par des droites parallèles.Le théorème de Thalès, celui dans le triangle ou celui sur les deux sécantes découpés par des parallèles, est cité sous ce nom dans les programmes de la seconde moitié du selon . On le trouve déjà par exemple dans le programme du diplôme d'aptitude de l'enseignement secondaire de jeune fille de 1911 (Journal officiel 10 septembre 1011, p. 7390), dans le programme de troisième de 1941 (Journal officiel, 21 septembre 1941, p. 4121)….
La situation est similaire en Italie, où le théorème de Thalès apparaît aussi sous ce nom également dans des manuels d'enseignement de la fin du . Elle est très différente en Allemagne, où le « théorème de Thalès » apparaît à la même époque mais pour désigner un tout autre théorème, la propriété selon laquelle tout angle inscrit dans un demi-cercle est droitEn Allemagne, notre théorème de Thalès est appelé , théorème des rayons, .. Toujours à la même époque, les États-Unis et l'Angleterre ne connaissent pas de théorème de ThalèsDans les pays de langue anglaise, notre théorème de Thalès est souvent appelé , théorème d'interception, .. L'une ou l'autre appellation se propage dans d'autres pays européens, soit sous l'influence des manuels français et italiens, soit sous celle des manuels allemands.
Le théorème de Thalès désigne deux énoncés très différents qui sont associés à deux traditions différentes de l'enseignement de la géométrie, plus fidèle à l'ordre d'exposition euclidien en Allemagne, où le nom de Thalès est associé à un théorème à propos du triangle rectangle, plus sensible en France à l'apparition de la géométrie projective et de la géométrie affine. Dans un cas comme dans l'autre, l'histoire est instrumentalisée au service d'un choix didactique : il s'agit de mettre un théorème en avant, en lui attribuant le nom d'un mathématicien célèbre, d'où des choix différents dans des traditions d'enseignement différentesSelon ..
Histoire Mathématiques babyloniennes et égyptiennes
Les mathématiques babyloniennes et égyptiennes nous sont connues principalement par des tables numériques et des énoncés de problèmes. Dans ce dernier groupe, on peut détecter quelques problèmes dont l'illustration présente des triangles qui semblent être en situation de Thalès. Pour Marianne Michel, docteure en égyptologie, le théorème dit « de Thalès » a été attribué à ce mathématicien uniquement par des sources tardives () et était connu des Babyloniens et des ÉgyptiensMarianne Michel, Les mathématiques de l’Égypte ancienne, éd. Safran, 2023, p. 300. Cependant, comme le souligne le conférencier en épistémologie et histoire des sciences Alain Herreman., il ne suffit pas de soupçonner une configuration de Thalès, encore faut-il que la présence du théorème soit corroborée par les nombres figurant sur la figure et par une procédure l'utilisant explicitement. Le risque est grand, autrement, de surinterpréter les textes, influencé par les connaissances actuelles et la tentation d'y retrouver ce qu'on s'attend à trouver Herreman signale que ce même article de Wikipedia, dans sa version de 2018, cédait à cette tentation (voir )..
Tablette MLC 1950
La tablette MLC 1950 datant de la période paléo-babylonienne, p.7 ( millénaire avant notre ère) décrit un exercice dans lequel le scribe cherche à calculer les longueurs des bases d'un trapèze découpé dans un triangle, à partir d'informations sur son aire S, sa hauteur h et la hauteur h' du triangle complétant le trapèze. La procédure consiste à calculer la demi-somme et la demi-différence des bases pour obtenir ensuite la valeur des bases par somme et différence la demi-somme des longueurs des bases, s'obtient comme le rapport de l'aire du trapèze par sa hauteur (d'autres tablettes confirment que la formule donnant l'aire du trapèze était connuePar exemple, la tablette YBC 7290.) ; la demi-différence, s'obtient par application d'une formule non expliquée, consistant à diviser l'aire du trapèze par .
La tablette ne donne aucune explication de cette dernière formule. Neugebauer et Sachs en donnent une justification par les « triangles semblables » (il s'agit en l'occurrence du cas particulier correspondant à notre « théorème de Thalès »).