Un oscillateur harmonique est un oscillateur idéal dont l'évolution au cours du temps est décrite par une fonction sinusoïdale, dont la fréquence ne dépend que des caractéristiques du système et dont l'amplitude est constante.
Ce modèle mathématique décrit l'évolution de n'importe quel système physique au voisinage d'une position d'équilibre stable, ce qui en fait un outil transversal utilisé dans de nombreux domaines : mécanique, électricité et électronique, optique. Il néglige les forces dissipatives (frottement par exemple). Dans la pratique, pour que l'amplitude de l'oscillation reste constante, il faut entretenir les oscillations en fournissant de l'énergie.
Définition générale et propriétés Approche expérimentale : exemples d'oscillateurs réels
De nombreux systèmes physiques réels, pour lesquels on rend négligeable l'influence des frottements, se comportent comme des systèmes oscillants, qui peuvent être modélisés comme des oscillateurs harmoniques.
Système masse-ressort : Il s'agit d'un système très simple à réaliser. Si la masse est écartée légèrement de sa position d'équilibre et relâchée sans vitesse initiale, l'expérimentateur constate que celle-ci se met à osciller autour de cette position d'équilibre. La mesure, à l'aide d'un capteur adapté, de l'évolution au cours du temps de l'élongation du ressort (par rapport à la position où la masse est au repos) montre que les (petites) oscillations sont purement sinusoïdales, de pulsation , du moins si l'influence des frottements est négligéeIl suffit d'effectuer les mesures pendant une durée assez faible, de l'ordre de quelques périodes, pour ne constater qu'un amortissement négligeable.. La valeur de ne dépend pas de l'amplitude initiale de déplacement de la masse, mais uniquement de la valeur de la masse et des propriétés du ressort, plus précisément de sa raideur . On peut montrer que l'équation du mouvement de la masse s'écrit , avec . Par suite l'équation horaire est donnée par , où est l'amplitude des oscillations et la phase à l'origine, qui dépendent des conditions initiales. Le mouvement est qualifié d'harmonique, de pulsation propre , la caractéristique du système.
Soit (R) le référentiel, considéré comme galiléen, lié au support sur lequel est fixé le ressort, Ox l'axe parallèle à la direction de l'axe du ressort, orienté positivement vers le bas, d'origine O la position de la masse considérée comme ponctuelle à l'équilibre, l'élongation du ressort à vide, celle du ressort à l'équilibre. Lorsque la masse est au repos il vient (en projection sur Ox) l'équation . L'élongation totale du ressort pour une position quelconque de la masse est donnée par , par suite l'application à celle-ci du principe fondamental de la dynamique dans le référentiel (R) donne en projection sur Ox :
soit compte tenu de l'équation statique précédente :
soit encore .
Oscillations libres d'un circuit LC: un condensateur de capacité électrique C, initialement chargé avec une charge commence à se décharger à un instant choisi comme origine dans une bobine d'inductance L, dont la résistance est considérée comme négligeable (cf. figure ci-contre). Il est facile de visualiser à l’oscilloscope l'évolution de la tension aux bornes du condensateur, et donc celle de sa charge du fait de la relation En toute rigueur cette relation n'est valable en régime variable que dans l'approximation des régimes quasi stationnaires, qui est bien vérifiée ici vu la taille du circuit. Cf.Perez, Electromagnétisme, , Paris, Masson, 1994.. Les résultats de mesures montrent que a une évolution sinusoïdale pure au cours du temps, de fréquence , dont la valeur ne dépend pas là encore de la charge initiale du condensateur, mais uniquement des valeurs de L et de C.
L'utilisation de la loi des mailles pour le circuit considéré permet de montrer que l'évolution de obéit à l'équation différentielle , avec pulsation propre des oscillations libres du circuit LC. Il vient l'expression pour l'évolution de la charge du condensateur, les valeurs de l'amplitude et de la phase à l'origine dépendant des conditions initiales.
Les analogies entre l'oscillateur mécanique qu'est le système masse-ressort et l'oscillateur électrique qu'est le circuit LC permettent d'identifier entre elles certaines grandeurs mécanique et électrique (voir infra analogie électromécanique). Elles montrent aussi que les grandeurs permettant de caractériser l'état du système obéissent à une équation différentielle de même forme, dont les solutions sont harmoniques sinusoïdales. Il est ainsi possible de définir de façon générale un oscillateur harmonique comme un système dont l'évolution libre (non amortie du moins) est caractérisée par une équation de cette forme.
Oscillateur harmonique libre unidimensionnel vignette|Illustration animée du mouvement harmonique unidimensionnel.
Les considérations expérimentales précédentes permettent de définir de façon générale un oscillateur harmonique, pour un système physique quelconque, unidimensionnel (ou à un degré de liberté), c'est-à-dire dont l'état peut être décrit à un instant donné par une seule grandeur physique, notée Cette grandeur est générale, et ne représentera par nécessairement une coordonnée géométrique comme en mécanique, il pourra s'agir d'une grandeur électrique par exemple, cf. exemple du circuit LC donné plus haut.. La nature précise de cette grandeur physique dépend du système considéré (cf. exemples précédents).
Un tel système se comporte comme un oscillateur harmonique (idéal) si lorsque le système est libre, c'est-à-dire pouvant être considéré comme isolé, la grandeur physique obéit à l'équation différentielle d'évolution suivante :
avec constante réelle positive, ayant les dimensions d'une fréquence, appelée pulsation propreLa pulsation , qui s'exprime en rad.s, est une fréquence angulaire, liée à la fréquence (en Hz) par la relation . Si le terme de pulsation propre est le plus rigoureux pour désigner , celui de fréquence propre est couramment employé à sa place en pratique. du système, qui ne dépend que des caractéristiques propres de celui-ci.
La solution générale de , , avec amplitude des oscillations et phase à l'origine, ces deux constantes étant déterminées par les conditions initiales sur et sa dérivée première.
Portrait de phase vignette|271x271px|Portrait de phase d'un pendule.
L'état de l'oscillateur à un instant donné est totalement déterminé par la connaissance de la position et de la vitesse. Puisque l'oscillateur n'a qu'un degré de liberté, un seul paramètre représente la position, et un seul la vitesse. Le portrait de phase d'un oscillateur harmonique est donc l'ensemble des trajectoires décrites par le système à partir de toutes les conditions initiales, représenté dans le plan . Le portrait de phase d'un oscillateur harmonique libre est une ellipse.
Interprétation en termes énergétiques Mise en évidence de la conservation de l'énergie
Par définition un système idéal est un système dans lequel l'énergie totale est conservée, c'est-à-dire qu'elle demeure constante à travers le temps. Pour mettre l'aspect idéal de ce système en évidence et la signification physique de l'équation , il est très intéressant de multiplier celle-ci membre à membre par . Il vient alors :
, soit encore
Par suite pour un oscillateur harmonique la quantité est conservée. Aux dimensions près, celle-ci correspond à l'énergie du système (de fait il sera toujours possible en pratique de multiplier par des combinaisons de paramètres du système pour obtenir les bonnes dimensions).
Cette énergie est constituée de deux termes : un terme d'énergie potentielle en ; un terme d'énergie cinétique en , (défini ici à une constante multiplicative près). La forme quadratique de l'énergie potentielle est en fait caractéristique d'un oscillateur harmonique : en effet, ce n'est qu'avec cette forme que la prise en compte du caractère conservatif du système redonne l'équation d'évolution précédente.
La nature exacte et les noms de ces termes dépendent du système étudié : pour le système masse-ressort, , est la vitesse instantanée de la masse à l'instant , et . Par suite et il suffit de multiplier membre à membre par la masse pour obtenir l'énergie mécanique du système : dans ce cas il s'agit bien de la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle élastique de la masse . Dans la limite où les frottements sont négligeables, cette énergie mécanique est conservée. pour le circuit LC, la grandeur est la charge de l'oscillateur à l'instant , est l'intensité dans le circuit, et . Par suite et il suffit de multiplier membre à membre cette quantité par l'inductance L pour obtenir l'énergie du système . Le terme en , qui correspond à l'énergie contenue dans la bobine, est l'analogue électrique de l'énergie cinétique du système masse-ressort, et celui en , qui correspond à l'énergie stockée dans le condensateur, est l'analogue de l'énergie potentielle mécanique. Comme , l'énergie du système peut alors s'écrire sous la forme . L'énergie du système pour un oscillateur harmonique est donc proportionnelle au carré de l'amplitude des oscillations.
Interprétations des oscillations en termes énergétiques
Le caractère conservatif de l'énergie d'un oscillateur harmonique idéal est bien sûr lié à l'absence de termes de dissipation. Il est en effet facile de voir que l'équation est invariante par renversement du temps : une telle symétrie implique que l'énergie du système physique soit conservée (cf. théorème de Noether). Cette conservation de l'énergie totale du système implique qu'au cours de son évolution il y a transfert entre les formes potentielle et cinétique de l'énergie du système : en fait, le caractère « oscillant » du système peut s'interpréter comme la conséquence du « va-et-vient » entre les deux formes d'énergie, dont la somme demeure (idéalement) constante au cours du temps.
Physiquement, un oscillateur harmonique présente la propriété fondamentale d'isochronisme des oscillations, c'est-à-dire que celles-ci possèdent une période donnée (période propre), constante, au bout de laquelle elles se répètent à l'identique. Sur le plan fondamental, cette propriété résulte de l'invariance par translation dans le temps, qui elle-même implique le caractère conservatif de l'énergie du systèmeIl est important de souligner que la propriété d'isochronisme des oscillations n'est pas limitée au cas de l'oscillateur harmonique. Ainsi un pendule simple non amorti, dans le domaine non linéaire, exhibera des oscillations présentant cette propriété, bien que non sinusoïdales, et également en raison de l'invariance par translation dans le temps. En effet lorsque le pendule, partant d'une extrémité, arrive à une autre au bout d'une durée , il n'a aucune raison de mettre une durée différente pour revenir à son extrémité d'origine, puisque les lois physiques sont invariantes par translation dans le temps. Il nécessitera donc la même durée pour revenir, d'où la période de . Bien entendu en présence de frottements, la symétrie par translation dans le temps est brisée, et il n'y aura plus d'isochronisme.Sur la relation entre loi de conservation et symétries continues des systèmes physiques, cf. l'article théorème de Noether.. Sur le plan mathématique, l'invariance par translation dans le temps se traduit par l'absence de termes d'ordre impair en , par exemple en , dans l'équation différentielle d'évolution. En présence de frottements, la symétrie par translation dans le temps est brisée, et il n'y aura plus d'isochronisme des oscillations (cf. oscillateur harmonique amorti).
L'oscillateur harmonique comme modèle - limites Importance physique de l'oscillateur harmonique