En mathématiques, la valeur principale de Cauchy, appelée ainsi en l'honneur d'Augustin Louis Cauchy, associe une valeur à certaines intégrales impropres qui resteraient autrement indéfinies.

Définition Soit c une singularité d'une fonction d'une variable réelle f et supposons que pour a<c<b, la limite suivante

existe et soit finie. Alors, on dit que l'intégrale impropre de f(x) sur l'intervalle existe et sa valeur est définie par L.

Si la limite ci-dessus n'existe pas, il est toutefois possible qu'elle existe lorsque ε et η tendent vers zéro en restant égaux, c'est-à-dire si la limite

existe et est finie. Dans ce cas-là, on appelle la limite L la valeur principale de Cauchy de l'intégrale impropre ce que l'on écrit :

La définition au cas avec n singularités :

si pour ε >0 les intégrales existent et sont finies et que la limite

existe, on pose : .

Exemples Fonction puissance

Soit la fonction définie par illustrée à la figure 1 ci-contre, on a :

Cette limite n'existe pas lorsque ε et η tendent vers zéro indépendamment. Par contre, en posant ε=η, la limite existe et vaut zéro. On a par conséquent :

Ce qui correspond à l'intuition puisque la fonction est impaire et que l'on intègre sur un intervalle symétrique.

Logarithme intégral

La fonction logarithme intégral joue un grand rôle en théorie analytique des nombres. Elle est définie par

Cette notation est abusive, il faut en effet voir cette définition pour comme la valeur principale de Cauchy :

Lien avec la théorie des distributions

Soit l'ensemble des fonctions lisses à support compact de vers . On peut alors définir une application

telle que

Cette application est bien définie et est une distribution d'ordre 1.

De façon plus générale, on peut définir la valeur principale d'un grand nombre d'opérateurs intégraux à noyau singulier. Soit une fonction admettant une singularité en 0 mais continue sur . Dans certains cas, la fonction suivante est bien définie et il s'agit d'une distribution.

Autres notations Dans la littérature, la valeur principale de Cauchy est parfois aussi notée :

où désigne l'anglais .

Références

Voir aussi Intégrale impropre Transformée de Hilbert Régularisation de Hadamard Théorème de Poincaré-Bertrand

Références E. T. Copson, , , 1955 , Variables complexes, , 1991

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