Intégrale paramétrique

En mathématiques, et plus précisément en analyse, une intégrale paramétrique (également appelée intégrale à paramètre) est une fonction d'une variable, définie à partir d'une fonction de deux variables – la variable d'intégration et le paramètre – par intégration sur un ensemble fixe par rapport à la variable d'intégration. Un exemple typique est la fonction gamma d'Euler définie par , pour laquelle on intègre sur par rapport à la variable d'intégration , la variable étant ici le paramètre.

Les deux variables, ainsi que les valeurs de la fonction, sont souvent choisies dans un espace euclidien. Une classe importante d'exemples est l'ensemble des transformées, dont la transformée de Fourier.

Définition formelle

Le plus souvent, dans les applications : l'entier naturel est égal à 1 ; est un ouvert de ℝ ; est une partie d'un espace euclidien, implicitement munie des tribu et mesure de Lebesgue ou de Borel. les fonctions sont continues et les intégrales sont considérées au sens de Riemann, mais la théorie générale de Lebesgue s'applique à ce cas particulier : sur un segment, une fonction bornée est Riemann-intégrable si et seulement si elle est continue presque partout, et toute fonction Riemann-intégrable est Lebesgue-intégrable.

Exemples

Transformée de Fourier Soit une fonction intégrable de ℝn dans ℂ, la transformée de Fourier de est la fonction de ℝn dans ℂ définie par :

où désigne le produit scalaire usuel.

Fonction gamma d'Euler vignette|Le graphe de la fonction gamma. Sur l'axe des abscisses, on fait varier le paramètre . La fonction gamma d'Euler est définie entre autres pour tout réel strictement positif, par :

Potentiel du champ de gravitation Le potentiel du champ de gravitation créé par un corps matériel de densité variable en un point de ℝ extérieur à est donné par :

où désigne la constante de gravitation et la norme euclidienne.

Limite

Reprenons la définition formelle ci-dessus en supposant de plus que est une partie de ℝ, que est un réel adhérent à , et que : pour une fonction ; il existe une application intégrable telle que . Alors, le théorème de convergence dominée permet de prouver que est intégrable et que

soit encore :

Remarques. La première hypothèse peut être affaiblie en supposant que la limite existe seulement pour presque tout , sous réserve que l'espace mesuré soit complet (ce qui est le cas pour les tribu et mesure de Lebesgue). La seconde hypothèse peut être doublement affaiblie en supposant seulement qu'il existe une fonction intégrable telle que pour chaque élément de appartenant à un certain voisinage de on ait : presque partout. Les énoncés des sections suivantes possèdent des variantes analogues. L'énoncé ci-dessus, même ainsi renforcé, reste vrai quand et sont une partie et un élément d'un espace métrique autre que ℝ (par exemple ou ℝ).

Continuité

Continuité locale : si l'on reprend la section précédente en supposant de plus que appartient à (donc pour tout , est continue au point et ), on en déduit que est continue en .

Continuité globale : par conséquent, si est continue sur avec partie ouverte (ou plus généralement : localement compacte) de ℝ et fermé borné d'un espace euclidien, alors est définie et continue sur .

Dérivabilité

La règle de dérivation sous le signe d'intégration est connue sous le nom de règle de Leibniz (pour d'autres règles portant ce nom, voir ). Étude locale Reprenons la définition formelle ci-dessus en supposant de plus que est un intervalle de ℝ et que : pour tout , est dérivable sur ; il existe une application intégrable telle que .

Alors, pour tout l'intégrale paramétrique est dérivable au point , l'application est intégrable, et :

Étude globale Avec les mêmes hypothèses que dans l'énoncé « Continuité globale » ( est continue sur avec partie localement compacte de ℝ et fermé borné d'un espace euclidien), si l'on suppose de plus que est définie et continue sur , alors est de classe C sur et pour tout , on a :

Forme générale unidimensionnelle

Le résultat suivant peut être vu comme une généralisation du premier théorème fondamental de l'analyse et peut s'avérer utile dans le calcul de certaines intégrales réelles.

Soit : ℝ → ℝ telle que et soient continues sur ℝ, et soient et deux fonctions dérivables de ℝ dans ℝ. Alors, l'« intégrale paramétrique » (généralisée) définie sur ℝ par :

est dérivable et

Remarque : pour une fonction qui ne dépend que de la seconde variable, on retrouve bien le théorème fondamental de l'analyse en posant et .

Théorème de Fubini

Soient par exemple une partie de ℝp, une partie de ℝq, et

une application intégrable. Alors, d'après le théorème de Fubini, la fonction est intégrable pour presque tout de , l'intégrale paramétrique définie par

est intégrable sur , et l'on a :

(et même chose en intervertissant les rôles de et ).

Exemples de calcul

Calculs élémentaires

Technique de Feynman

La technique de Feynman ( ou ) est une méthode de calcul intégral décrite par Richard Feynman, qui consiste à définir une intégrale comme une valeur particulière d'une fonction sous forme d'une intégrale paramétrique pour donner une expression plus simple de cette fonction et donner la valeur de l'intégrale comme valeur de la fonction évaluée en un point

.

Exemples Intégrale de Serret On veut calculer l'intégrale :

Par la technique de Feynman, on considère la fonction :

On a alors et . On calcule la dérivée de la fonction, en dérivant sous le signe intégral puis en décomposant la fraction en éléments simples :

On revient donc au calcul de l'intégrale par intégration :

Ce qui permet de conclure .

Intégrale de Gauss L'intégrale de Gauss joue un rôle important en analyse et en calcul des probabilités, elle est définie par :

Cette égalité peut s'obtenir de plusieurs façons, dont une faisant intervenir les intégrales paramétriques .

Notes

Voir aussi Articles connexes Produit de convolution

Bibliographie

Liens externes

Parametrique