Dans le cadre des équations différentielles, le critère de Nagumo est un critère suffisant d'unicité locale d'une solution à un problème de Cauchy. Joint au théorème d'existence locale de Cauchy-Peano-Arzelà, il assure donc la même conclusion que le théorème de Cauchy-Lipschitz, sous des hypothèses différentes.

Il a été énoncé par Mitio Nagumo.

Énoncé Soit une fonction continue à valeurs dans un espace vectoriel normé E, définie sur un cylindre fermé S = [t – c, t + c] × de ℝ × E.

Si vérifie sur S la condition

alors deux solutions quelconques du problème de Cauchy

coïncident sur tout sous-intervalle de [t – c, t + c] où elles sont définies toutes deux.

Démonstration

Soient u et v deux solutions du problème de Cauchy, définies par exemple sur un intervalle [t, t] avec t > t, montrons que u = v.

La fonction g définie sur cet intervalle par

est nulle en t, mais aussi de dérivée (à droite) nulle en t, puisque quand t → t,

Ces deux propriétés de g permettent de définir sur [t, t] une fonction h par

qui majore l'expression intégrale de g(t) d'après l'hypothèse du critère de Nagumo.

On obtient ainsi

autrement dit l'application t ↦ h(t)/(t – t) est décroissante sur ]t, t]. Comme elle est à valeurs positives et de limite nulle en t, elle est constamment nulle, donc g aussi.

Exemple Soit l'application définie par

et soit le problème de Cauchy

L'application n'est pas lipschitzienne par rapport à u au voisinage de l'origine, en effet, on sait que n'est pas lipschitzienne à l'origine.

Cependant, pour tout , on déduit du théorème des accroissements finis qu'il existe c entre et tel que

par conséquent, f satisfait le critère de Nagumo dans tout cylindre centré à l'origine puisque

pour tout et pour tout . On conclut donc que le problème de Cauchy possède une et une seule solution.

Notes et références

Denis Bonheure, Équations différentielles ordinaires, notes de cours de l'Université catholique de Louvain

Voir aussi Le critère d'Osgood dans , qui fournit une condition suffisante d'unicité, moins restrictive que celle de Cauchy-Lipschitz.

Critere de Nagumo