Une distribution tempérée est une forme linéaire continue sur l'espace de Schwartz . L'espace des distributions tempérées est donc le dual topologique de Par densité de dans , il s'identifie à un sous-espace vectoriel de l'espace de toutes les distributions : le sous-espace (propre) des distributions qui s'étendent continûment à
Par exemple, les fonctions continues bornées, comme la fonction constante 1, définissent des distributions tempérées, ainsi que toutes les distributions à support compact, comme la distribution de Dirac.
Les distributions tempérées ont été introduites par Laurent Schwartz, mais initialement sous l'appellation ., ce qui explique l'emploi de la lettre S par Schwartz lui-même.
Définition Une distribution tempérée sur est une forme linéaire continue sur La continuité d'une forme linéaire sur peut s'exprimer de deux façons équivalentes :
soit par la continuité séquentielle : pour toute suite convergeant vers dans
soit par l'utilisation de la famille de semi-normes définissant la topologie de : il existe un entier naturel et un réel tels que
Toute distribution tempérée se restreint donc en une distribution d'ordre fini et par densité de dans , une distribution T se prolonge en une (unique) distribution tempérée si et seulement si elle vérifie une telle inégalité pour tout
Topologie
On munit de la topologie faible-* ; est alors un espace localement convexe (et son dual topologique s'identifie à ). Plus explicitement, la collection de tous les ensembles de la forme (où et )est une base de voisinages de 0.
La convergence dans est donc, comme dans , la convergence simple : dire que la suite de tend vers T signifie que pour toute fonction , on a
Exemples de distributions tempérées Distributions à support compact Toute distribution à support compact est tempérée et s'injecte continûment dans
Mesures tempérées Toute mesure bornée et plus généralement, toute mesure de Borel (signée, voire complexe) sur ℝ, représente une distribution , définie via l'injection linéaire :
Pour que cette distribution soit tempérée, il suffit que la mesure le soit, c'est-à-dire vérifie les conditions équivalentes suivantes, où la mesure positive || est la variation de : il existe un entier naturel p tel que la mesure à densité (1 + ║x║)|| soit finie ; il existe un entier naturel p tel que ||(B(0, R)) = O(R) (quand le rayon R de la boule B(0, R) tend vers l'infini).
Les deux définitions de « mesure tempérée » sont équivalentes : soit p un entier naturel. Si la mesure (1 + ║x║)|| est finie, c'est-à-dire sialors Si ||(B(0, R)) = O(R), c'est-à-dire s'il existe une constante telle que pour tout ,alors Si est une mesure tempérée alors est une distribution tempérée : si, pour un certain entier naturel p,alors
Remarque : cette condition suffisante n'est pas nécessaire. Par exemple sur ℝ, la fonction x ↦ sin(e) est la densité, par rapport à la mesure de Lebesgue , d'une mesure tempérée, qui définit donc une distribution tempérée, donc sa dérivée x ↦ ecos(e) définit aussi une distribution tempérée, bien qu'elle soit à croissance exponentielle.
Distributions tempérées régulières Pour toute fonction localement intégrable , les considérations précédentes s'appliquent à la mesure à densité .
La distribution , dite régulière, est donc tempérée par exemple si : est (localement intégrable et) à croissance polynomiale (i.e. en O(║x║) pour un certain réel c, au voisinage de l'infini) ; appartient à un espace de Lebesgue (ℝ), avec . Plus précisément, (ℝ) s'injecte continûment dans
Distributions tempérées à support dans ℤ Les considérations précédentes s'appliquent également à toute mesure à support dans ℤ, canoniquement associée à une suite multi-indexée de complexes par la relation . La distribution associée, qui s'écrit alors
est donc tempérée dès que la suite est à croissance polynomiale.
Distributions périodiques
Une distribution sur est dite périodique de période si où désigne la translation de
Les exemples les plus simples sont le peigne de Dirac Ш — qui est à la fois périodique et à support dans ℤ — et les distributions régulières périodiques, c'est-à-dire associées à des fonctions localement intégrables périodiques.
Opérations sur les distributions tempérées On montre ce qui suit. :
Si alors, pour tous multi-indices le produit (avec un abus de langage) et la dérivée appartiennent à . De plus, la multiplication et la dérivation sont des applications linéaires continues de dans
Soit une distribution tempérée de Alors La multiplication avec est compatible. Pour toute fonction à dérivées à croissance polynomiale , la distribution Le produit de convolution avec est compatible. Pour toute distribution à support compact
Transformée de Fourier des distributions tempérées
Définition On appelle transformation de Fourier de dans la transposée de la transformation de Fourier de dans . On la note de nouveau , autrement dit on pose
Note : on retrouve la transformée de Fourier usuelle si T s'identifie à une fonction de ou , ou à une fonction localement intégrable périodique ( article détaillé).
Inversion de Fourier On définit de même l'opérateur sur comme le transposé de celui sur :
On déduit des propriétés des opérateurs sur les propriétés analogues pour leurs transposés :
Remarque : cette formule dépend de la convention choisie pour la transformation de Fourier dans l'espace des fonctions. Elle est valide pour une transformation de Fourier exprimée dans l'espace des fréquences, dont la définition utilise
Autres propriétés La transformée de Fourier dans hérite de ses propriétés dans est un automorphisme de période 4 (i.e. 4 est le plus petit entier strictement positif k tel que ), bicontinu ( est aussi continue). En particulier hérite de la continuité séquentielle. Pour toute suite de distributions tempérées, Dans , la transformation de Fourier échange l'espace des convoleurs et l'espace des multiplicateurs et échange le produit convolutif et le produit multiplicatif. Autrement dit, soit et alors on a
Exemples de transformées de Fourier de distributions
Les formules dépendent de la convention choisie pour la transformation de Fourier dans l'espace des fonctions. Elles sont valides pour une transformation de Fourier exprimée dans l'espace des fréquences, dont la définition utilise
Opérations usuelles Soit T une distribution tempérée sur Les opérations alors utilisées dans les cas des fonctions sont maintenant valides sans hypothèse supplémentaire. Dérivation : pour tout , Multiplication par un polynôme : pour tout , Translation : pour tout Modulation : pour tout
Transformées usuelles Transformées des sinusoïdes
Transformées des masses de Dirac. Pour tout et tout multi-indice
Transformées des polynômes : pour tout multi-indice
Distributions périodiques La transformée de Fourier d'une distribution U T-périodique sur est la distribution en somme de Diracs
c'est-à-dire un signal, échantillonné à la fréquence , dont les échantillons sont données par
pour toute fonction test vérifiant
Cas des distributions à support compact Dans cette section, T est supposée à support compact. Transformée de Fourier On démontre que l'application définie sur ℝ par
est de classe C, avec donc (en utilisant la continuité de T en termes de semi-normes et la compacité de son support) à croissance polynomiale. Elle définit donc une distribution tempérée régulière , et l'on vérifie que
Transformée de Fourier-Laplace Donnons maintenant la définition de la transformée de Fourier-Laplace de T, extension à ℂn de sa transformée de Fourier :
On montre (théorème de Paley-Wiener) que cette fonction est entière.
Ainsi, la transformée de Fourier d'une distribution à support compact est analytique.
Cette remarque est cohérente avec la propriété d'échange entre décroissance à l'infini et régularité. Comme la compacité du support est la plus grande vitesse de décroissance à l'infini, il est prévisible que cette propriété s'échange avec celle de régularité extrême, c'est-à-dire la propriété d'être une fonction entière.
Notes et références
F. Golse, Distributions, analyse de Fourier, équations aux dérivées partielles, Éditions de l'École polytechnique, 2012, polycopié de cours.
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