Énoncé L'inégalité de Nesbitt est un cas particulier de l'inégalité de Shapiro pour trois réels ; elle donne un minorant d'une expression rationnelle de ces réels. Elle s'énonce ainsi :

Démonstrations

Première démonstration : par l'inégalité de réarrangement On suppose, sans perte de généralité, que . On a alors :

En appliquant deux fois l'inégalité de réarrangement, il vient :

et

En ajoutant ces deux inégalités, on obtient :

c'est-à-dire

dont on déduit l'inégalité de Nesbitt.

Deuxième démonstration : par l'inégalité arithmético-harmonique Par l'inégalité arithmético-harmonique portant sur ,

Après simplification,

dont on obtient

après développement et rassemblement par dénominateur. D'où le résultat.

Troisième démonstration : par l'inégalité de Cauchy–Schwarz En appliquant l'inégalité de Cauchy–Schwarz aux vecteurs , il vient

forme qui est similaire à celle de la preuve précédente.

Quatrième démonstration : par l'inégalité arithmético-géométrique On applique d'abord une transformation de Ravi en posant . En appliquant l'inégalité arithmético-géométrique aux six nombres , on obtient

Après division par , on obtient

On fait le changement d'inconnues inverse en réécrivant à présent en fonction de :

qui, après simplification, donne le résultat.

Cinquième démonstration : par le lemme de Titu Le lemme de Titu, conséquence directe de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, indique que pour toutes familles de réels et de réels positifs , . On utilise ce lemme pour avec les familles et :

Après développement

ce qui donne

Or, l'inégalité de réarrangement donne , ce qui prouve que le quotient de droite est inférieur ou égal à . Finalement,

Sixième démonstration : utilisation de l'homogénéité Puisque la partie gauche de l'inégalité est homogène, on peut supposer . En posant , , et . Il suffit de montrer , c'est-à-dire . Une simple application du lemme de Titu fournit le résultat.

Septième démonstration : par l'inégalité de Jensen On suppose ici aussi . On recherche alors le minimum de .

Or la fonction définie par est convexe sur , donc d'après l'inégalité de Jensen : ,

d’où l'inégalité voulue.

Huitième démonstration : par l'inégalité de Muirhead L'inégalité équivaut à .

Avec les notations introduites dans la page sur l'inégalité de Muirhead, cela équivaut à , ce qui s'obtient par le théorème de Muirhead car majorise .

Neuvième démonstration L'inégalité équivaut à ,

or le premier membre peut se mettre sous la forme ,

ce qui prouve l'inégalité, et montre de plus que le cas d'égalité est .

Références

Voir aussi

Inégalité de Shapiro

Bibliographie

, Exercice 5.6, page 84. A. M. Nesbitt - Problem 15114, Educational Times, numéro 2, pages 37-38, 1903.

Nesbitt