Andreï Nikolaïevitch Kolmogorov ( ; à Tambov – à Moscou) est un mathématicien russe et soviétique qui a apporté des contributions significatives en mathématiques, notamment en théorie des probabilités, topologie, turbulence, mécanique classique, logique intuitionniste, théorie algorithmique de l'information et en analyse de la complexité des algorithmes.
Biographie Enfance Kolmogorov est né à Tambov en 1903. Sa mère Maria Iakovlevna Kolmogorova (1871-1903), célibataire, meurt en accouchant. Elle est la benjamine d'une fratrie dont l'aînée est décédée elle aussi. Andreï est récupéré par son grand-père maternel, un homme noble et prospère qui n'avait pas accepté, semble-t-il, le mariage de sa fille avec un simple ingénieur agronome issu d'une famille modeste. Son père Nikolaï Matveïevitch Kataïev lui rend visite de temps à autre, mais il est déporté de Saint-Pétersbourg pour sa participation au mouvement révolutionnaire et disparaît, probablement tué pendant la Guerre civile russe en 1919. Le jeune Andreï est élevé par ses tantes à Tounochna, près de Iaroslavl, sur la propriété de son grand-père. Au domicile familial, elles mettent en place une école qui emploie de nouveaux outils pédagogiques visant à susciter l'intérêt de l'élève par la découverte et la diversité des activités. Le petit Andreï grandit dans cet environnement qui favorise la curiosité et bannit la paresse. Ses premiers efforts littéraires et articles mathématiques sont imprimés dans le journal de l'école. Il décrit lui-même le qu'il ressent en trouvant, à six ans seulement, le motif suivant :
Sa tante Vera Yakovlevna Kolmogorova l'adopte et déménage en 1910 avec lui à Moscou, où il commence à étudier à l'institut privé Repman. Adolescent, il conçoit des machines à mouvement perpétuel, cachant tellement bien leurs défauts intrinsèques que ses professeurs d'enseignement secondaire n'arrivent pas à les découvrir. Entre 1918 et 1920, la vie à Moscou est loin d'être simple, seuls ceux dotés d'une grande volonté peuvent étudier, car ils doivent concilier leurs études avec les . Andreï travaille à la construction de la voie ferrée Kazan - Ekaterinbourg et conduit des trains, tout en préparant les examens finaux du Gymnasium. De retour à Moscou, il connaît une grande déception : on lui délivre le certificat d'études sans se donner la peine de l'évaluer.
Études et premiers résultats Ayant reçu son diplôme en 1920, Andreï s'inscrit en physique et mathématiques à l'université de Moscou, et intègre la section de mathématiques de l'Institut Mendeleïev de génie mécanique. Grâce au livre Nouvelles Idées de mathématiques, il apprend les principes de la théorie des ensembles, et étudie de nombreux sujets dans des articles du Dictionnaire encyclopédique de Brockhaus et Efron, complétant lui-même ce qui est présenté de façon succincte.
Kolmogorov participe en tant qu'auditeur libre au séminaire du professeur Sergueï Bakhrouchine sur l'histoire ancienne russe. Pendant ses cours de première année, il suit les cours de Nikolaï Louzine sur la théorie analytique des fonctions, et ceux d'Alekseï Konstantinovitch Vlasov sur la géométrie projective. Pendant sa deuxième année, il s'inscrit au séminaire de Viatcheslav Stepanov sur les séries de Fourier où il résout un problème qui avait intéressé Louzine. De 1922 à 1925, en parallèle avec ses études, il est professeur de mathématiques dans l'enseignement secondaire, à l'école modèle expérimentale Potylikha. En 1922, il trouve son résultat le plus célèbre sur les séries trigonométriques : la construction d'une série de Fourier qui diverge presque partout. Il publie aussi ses premiers résultats concernant la théorie des ensembles et, en 1923, ses travaux concernant l'analyse de Fourier. Il publie ses travaux sur la théorie de l'intégration et, en 1924, commence à s'intéresser à la théorie des probabilités. En 1925, il publie la première formalisation de la logique intuitionniste, devançant le travail des plus grands logiciens de son époque. Malgré son jeune âge, il bénéficie déjà d'une certaine reconnaissance internationale. Après la fin de ses études supérieures en 1925 il commence son doctorat auprès de Nikolaï Louzine, qu’il termine en 1929.
Son premier article, , publié en 1925, est préparé conjointement avec Alexandre Khintchine. Il est remarquable et comporte quatre parties, la première revenant à Khintchine, les suivantes étant de lui. Il commence ses études de troisième cycle sous la direction de Louzine, conscient des implications des méthodes analytiques de Louzine et Dmitri Egorov dans le développement des probabilités. Il partage sa passion du savoir avec Pavel Aleksandrov, qui travaille sur les aspects topologiques de la théorie des ensembles. Grâce aux enseignements reçus, il trouve plusieurs résultats sur la théorie des ensembles, et publie en 1928 son étude . Cette année-là, il publie aussi un article sur les conditions nécessaires et suffisantes pour la validité d'une version de la loi des grands nombres (LGN) faisant appel à des séries de variables aléatoires (v. a.). À partir de la condition de Markov, il obtient comme résultat une condition nécessaire et suffisante pour que la loi des grands nombres soit respectée. Entre 1928 et 1929, Andreï publie des travaux dans des revues spécialisées sur les opérations d'ensembles, les théorèmes limites, l'intégration. Son article , publié en 1929, est celui qui a le plus d'influence sur la communauté scientifique. Quand il termine ses études de troisième cycle en , il a déjà publié dix-huit articles. Sa promotion compte septante étudiants, et il se voit proposer un poste dans un institut de recherche ukrainien, mais il sait que le centre névralgique de la recherche se trouve à Moscou. Avec le soutien actif de Pavel Aleksandrov, conscient de ses dons en mathématiques, il entre en tant que collaborateur scientifique à l'Institut de recherches en mécanique et mathématiques d'État de Moscou.
Carrière Le , Andreï Kolmogorov, Pavel Aleksandrov et Nyuberg partent en barque de Iaroslavl pour une excursion de , pendant vingt et un jours sur la Volga, et atteignent Samara où ils empruntent un bateau à vapeur jusqu'à la mer Caspienne et un autre bateau jusque Bakou. Ils se rendent près d'un monastère au bord du lac Sevan, où Aleksandrov travaille à son livre de topologie et aide également Kolmogorov à rédiger deux articles en allemand. Le premier est une étude approfondie sur l'intégrale, le second son important mémoire Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung (), un texte qui allait jouer un rôle clé dans le développement des processus stochastiques, et poser les bases théoriques des processus markoviens. Le , Kolmogorov envoie le manuscrit à la prestigieuse revue scientifique Mathematische Annalen, qui le publie en . L'article étudie de façon abstraite les processus de Markov, qu'on retrouve dans une multitude de phénomènes physiques, notamment le mouvement brownien, la prévision météorologique
Kolmogorov et Aleksandrov sont invités à se rendre en Allemagne et en France entre et . De Berlin, ils se rendent à l'université de Göttingen où ils rencontrent Richard Courant, David Hilbert, Edmund Landau, Felix Bernstein, Emmy Noether et Hermann Weyl. Kolmogorov, qui cherche à généraliser le concept d'intégrale, se rend à l'université Louis-et-Maximilien de Munich où enseigne Constantin Caratheodory, qui salue ses travaux sur la théorie de la mesure, mais accueille la généralisation du concept d'intégrale avec une certaine indifférence. Il lui recommande tout de même de publier les deux travaux. En , Kolmogorov et Aleksandrov poursuivent leur voyage vers la France où ils travaillent, pendant un mois, auprès de René Maurice Fréchet qui a étudié les fondamentaux de la probabilité, les espaces abstraits et la théorie des ensembles. Ils quittent Fréchet en septembre pour se rendre à Paris, où ils rencontrent notamment Émile Borel, Henri-Léon Lebesgue et Paul Lévy. Après avoir contracté une forte bronchite (peut-être une pneumonie) à Noël, Kolmogorov reprend ses recherches en après être rentré à Moscou.
En 1931, il reçoit une chaire de professeur à l'université de Moscou.
En 1933, paraît en allemand son manuel des Fondements de la théorie des probabilités ( Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung), dans lequel il présente son axiomatisation du calcul des probabilités, qui allait apporter des éléments au sixième problème de Hilbert, ainsi qu'une manière adaptée de traiter les processus stochastiquesC'est-à-dire les problèmes de variables aléatoires qui dépendent du temps.. La même année, il devient directeur de l'Institut de mathématiques de l'université de Moscou.
En 1934, il publie son travail sur la cohomologie (concept de la topologie) et obtient, grâce à cette thèse, le titre de docteur en physique en 1935.
En 1936, est créée la nouvelle revue mathématique intitulée Uspekhi Matematicheskikh Nauk (UMN), dont Kolmogorov fait partie du comité de rédaction jusqu'à sa mort, devenant même rédacteur en chef de 1946 à 1955 et de 1982 à 1987. Il passe en 1938 chef du département de la théorie des probabilités, dont il occupera le poste de direction jusqu'en 1966. Il est élu à l'Académie des sciences de l'URSS en 1939.
Dans les années 1930, l'Union soviétique est à la pointe dans le domaine de la recherche génétique, poursuivant les travaux de Gregor Mendel. À partir de 1935, la génétique portée par l'éminent généticien Nikolaï Vavilov est rangée dans la catégorie de pseudo-science bourgeoise, éloignée des valeurs soviétiques. Vavilov est peu à peu persécuté en raison de ses critiques à l'égard du pseudo-scientifique Trofim Lyssenko, et arrêté puis condamné à vingt ans d'emprisonnement. S'exposant à de terribles représailles, Kolmogorov publie en 1940 l'article dans lequel il soutient que cette étude constitue en réalité une nouvelle et brillante confirmation des lois de Mendel. Dans son article, Kolmogorov critique les méthodes statistiques employées par cette Ermolaeva et offre sa propre analyse des données. Finalement, les données en faveur du mendélisme étaient à ce point probantes qu'il fut impossible d'occulter la vérité.
Lors de la Seconde Guerre mondiale, Kolmogorov contribue à l'effort de guerre soviétique en appliquant la théorie statistique aux tirs d'artillerie. Au tournant des années 1940, il s'intéresse à la turbulence, rédige quatre articles sur ce sujet , mais son influence est capitale. Il détermine la longueur des plus petits tourbillons susceptibles d'exister sans que la viscosité les défasse, que l'on appellera par la suite dimension de Kolmogorov. Il publie aussi les lois correspondant au mécanisme de la cascade turbulente, expliqué par Lewis Fry Richardson en 1922. vignette|Kolmogorov à gauche donne une conférence à Tallinn en 1973.
Depuis des décennies, Kolmogorov s'était attaqué sous différents angles au problème à N corps. Son intuition hors norme et la maturité que lui confère sa vaste culture mathématique lui permettent d'imaginer une stratégie gagnante. Il publie sa nouvelle technique en 1954 au Congrès international des mathématiciens à Amsterdam, ainsi que, la même année, dans son article . Les actes du Congrès seront publiés en 1957 dans l'article intitulé , dont les développements ultérieurs par son élève Vladimir Arnold et le germano-américain Jürgen K. Moser aboutiront à la théorie KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser).