Livre VII des Éléments d'Euclide

Le livre VII des Éléments d'Euclide est le premier des trois livres des Éléments à traiter d'arithmétique. C'est le seul d'entre eux à proposer des définitions, qui comprennent en en particulier les nombres premiers et les nombres premiers entre eux, le plus grand commun diviseur (PGCD) et le plus petit commun multiple (PPCM). Euclide distingue unité et nombre : un nombre chez Euclide est donc un entier naturel au moins égal à 2.

Description Dans l'édition Heiberg (édition critique de référence depuis la fin du ), le livre VII des Éléments contient : 23 définitions dont l'une est considérée comme une interpolationVitrac dans .Les 23 définitions sont données dans l'édition du texte grec de Heiberg (qui signale la 10 comme douteuse), dans la traduction (avec le signalement pour la 10) et, et sont par ailleurs celles-retenues par . La traduction latine de Heiberg et la traduction anglaise de Heath ( et discussion ) éliminent cette 10 définition et n'en retiennent que 22, d'où une discordance dans la numérotation pour les traductions à partir de la définition 10. Ici la numérotation est celle de Vitrac (et de Peyrard). ; 39 propositionsCertains manuscrits comportent 41 propositions, qui sont celles reprises par l'édition de Peyrard.Parmi celles-ci, les deux propositions non retenues par Heiberg sont les propositions XX et XXII . Elles sont considérées comme des ajouts tardifs peu utiles, attribués par Heiberg à Théon d'Alexandrie ( et )..

Les définitions Les définitions introduisent la notion d'unité, de diviseur et de multiple, de nombre pair ou impair, de nombre premier et de nombres premiers entre eux, … Elles se terminent par celle de nombre parfaitLes traductions qui suivent sont celles de Peyrard , sauf quand l'auteur est précisé explicitement (en note). : L'unité est ce selon quoi chacune des choses existantes est dite une. Un nombre est une multitude composée d'unitésLe terme « multitude » est la traduction du grec choisie par Vitrac . Peyrard utilise « assemblage », Heath .. La notion de multitude n'est elle même pas définie. Elle est utilisée par Euclide (ici et ensuite) dans le sens de quantité indéterminéeVitrac dans .. Euclide distingue unité et nombre. Un nombre correspond donc à un entier naturel supérieur ou égal à 2, ce qui peut conduire à certaines complications ou redondances dans les énoncés des propositions et dans leurs démonstrationsVitrac dans ..

Ces trois relations sont définies en terme de mesure, notion elle-même non définieVitrac dans .. La relation « être partie de » (un nombre) correspond, en termes modernes, à la relation « être diviseur de » (ce nombre). La relation réciproque, « être multiple de » est en fait très peu utilisée dans les ÉlémentsVitrac dans .. Comme « plus petit » est à comprendre au sens strict, un nombre n'est pas partie de lui-même, alors que dans la suite des livres arithmétiques, un nombre peut se mesurer lui-mêmeVoir Vitrac dans , mais voir plus loin la définition VII.12 et .. Par ailleurs l'unité mesure tout nombre, et donc est partie de tout nombre, bien que cela ne rentre pas dans le cadre de la définition VII.3Vitrac dans .. La définition VII.4 définit étrangement la négation par le pluriel : il faut comprendre par exemple que 2 est une partie de 8 (un quart) alors que 6 est des parties de 8 (trois quarts)Vitrac dans .. On pourrait penser qu'un théorème est nécessaire, et d'ailleurs Euclide énonce, à la proposition VII.4, que .

Suivent les définitions de nombre pairement pair (déf. 8), impairement pair (déf. 9), impairement impair (déf. 11). La définition 10 de nombre pairement impair est redondante avec la définition 9 et contestée.

Ces deux définitions sont énoncées de façon parallèle (de même que les deux définitions qui suivent de nombre composé et de nombres composés entre eux), mais, la première poserait un problème si on considèrait qu'un nombre se mesure lui-mêmeVitrac dans ..

Euclide définit directement la relation de proportionnalité entre 4 nombres, contrairement à ce qu'il a fait au livre V, où, pour définir la relation de proportionnalité entre grandeurs, il passe par la notion intermédiaire de rapport (ou raison) définie comme une relation entre deux grandeursVitrac dans .. Dans le cas des nombres, la notion de rapport semble aller de soi pour Euclide. Les formulations utilisées par Euclide pour exprimer que 4 nombres (A,B,C,D) sont en proportion sont les mêmes que pour les proportions entre grandeursVitrac dans , des usages dans les livres arithmétiques sont à chaque fois donnés en note. : (A,B,C,D) sont en proportion ; (A,B) ont le même rapport que (C,D) ; (A,B) sont dans le même rapport que (C,D) ; comme A est relativement à B ainsi est C relativement à D. Des notations modernes plus algébriques utilisées par les historiens sont : A:B :: C:DPar exemple , ou . La notation est déjà utilisée en 1795 (pour les grandeurs) par ., ou A:B = C:DPar exemple ..

Par ailleurs l'asymétrie formelle de cette définition 21 (en la prenant au pied de la lettre : (4,6,8,12) sont en proportion mais (6,4,12,8) ne le seraient pas), le fait qu'elle utilise les définitions de partie, parties et multiple qui sont au sens strict (ainsi (4,4,8,8) ne seraient pas en proportion), le fait que l'unité ne soit pas un nombre, pourraient poser problème, du moins si on l'interprète comme une définition moderneVitrac dans ..

Les propositions Les propositions abordent les points suivants. Des notations symboliques sont parfois utilisées pour rendre les énoncés plus lisibles : Algorithme d'Euclide (propositions 1 à 3)Vitrac dans .. L'algorithme est exposé dès la proposition 1, qui le donne comme critère pour savoir si deux nombres sont premiers entre eux. La proposition 2 est un problème, et l'algorithme est utilisé cette fois dans le développement, pour déterminer la plus grande commune mesure de deux nombres non premiers entre eux, en termes modernes leur PGCD. À cette occasion est obtenu comme corollaire : , c'est-à-dire que les diviseurs communs de deux nombres divisent leur PGCD. La proposition 3 généralise le procédé à plus de deux nombres. Théorie des proportions pour les nombres (propositions 5 à 19). Les propositions 4 à 10 ne sont utilisées que pour démontrer les propositions 11 à 19 qui donnent les résultats fondamentaux de la théorie des proportions pour les nombres. Certaines de ces propositions sont donnés ci-dessous avec des notations modernes qu'Euclide n'utilise pasVoir le commentaire de la définition 21 à la section précédente ; le rapport a:b est une relation, il n'y a pas de nombre rationnel dans les éléments. : Proposition 11. Si a:b :: c:d et a > c, alors a:b :: (a - c):(b - d) (s'appuyant sur les propositions 7 et 8). À la proposition 12, il est démontré que si a:b :: c:d, alors a:b :: (a + c):(b + d) (s'appuyant sur les propositions 5 et 6) ; la proposition est énoncée pour des « sommes » (l n'y a en fait pas vraiment de terme pour l'addition ou la somme) quelconques. Proposition 13 de permutation des termes moyens. Si a:b :: c:d , alors a:c :: b:d (s'appuyant sur les propositions 9 et 10). À la proposition 14, il est démontré que si a:b :: d:e, et si b:c :: e:f, alors a:c :: d:f ; la proposition est énoncée pour des nombres en quantité quelconque. La proposition 15 est essentiellement un cas particulier de la proposition 13 de permutation des moyens et des extrêmes, au sens où elle peut se ramener à celle-ci (l'unité est notée 1 de façon anachronique) : si 1:b :: d:e, alors 1:d :: b:e. Proposition 16. Elle énonce essentiellement la commutativité de la multiplication (voir la définition 16 de la section ci-dessus), et se démontre à partir de la proposition 13 via la proposition 15. Proposition 17. Si d = a•b et e=a•c, alors b:c :: d:e (Euclide n'utilise pas de notation pour la multiplication, voir définition 16 ; par d = a•b il faut comprendre, ici et dans la suite, que le nombre a, multipliant b produit d). Proposition 18. Si d = a•c et e=b•c, alors a:b :: d:e (même remarque). Proposition 19. a:b :: c:d, si et seulement si a•c=b•c (en réalité, Euclide n'utilisant pas de notation pour la multiplication, il faut faire intervenir d'autres lettres pour désigner ces deux produits). Cette proposition énonce que 4 nombres sont en proportion, si et seulement si le produit des extrêmes est égal au produit des moyens, la relation qui permet aujourd'hui de définir formellement les nombres rationnels. Représentants d'un rapport donné (propositions 20 à 22, et 33)Propositions XXI, XXIII, XXIV et XXXV dans .. La proposition 20 énonce essentiellement que si c:d :: a:b avec c et d les plus petits possible ayant même rapport que (a,b), alors c mesure a, d mesure b, et ce autant de fois. En outre ces c et d les plus petits possible sont premiers entre eux (proposition 21). Et réciproquement, s'ils sont premiers entre eux et de même rapport que (a,b), ils sont les plus petits possible parmi ceux-ci (proposition 22). Ces trois propositions constituent un des principaux résultats du livre VIIVitrac dans .. La détermination d'un couple minimal dans un rapport donné n'est fournie qu'à la proposition 33Vitrac dans ., où elle est posée comme problème de façon plus générale pour, une quantité quelconque de nombres, et obtenue en divisant par le PGCD obtenu par l'algorithme d'Euclide (proposition VII.3 dans le cas général). Propriétés des nombres premiers entre eux (propositions 23 à 28)Proposition XXV à XXX dans ; à partir de la proposition 22, une proposition numérotée n dans l'édition Heiberg et ses traductions, dont , est numérotée n+2 dans .. À la proposition 23 il est prouvé que, si c mesure a et si a est premier avec b, alors c est premier avec b. À la proposition 24, il est démontré essentiellement que, si a et b sont premiers avec c, alors a•b est premier avec c (Euclide n'ayant pas de symbole pour le produit a•b, il introduit une nouvelle lettre d). La démonstration procède par l'absurde : Euclide introduit un hypothétique nombre e qui mesure le produit a•b et c. Ce nombre e est premier avec a par la proposition 23 (e mesure c, c et a sont premiers entre eux). De e mesure a•b Euclide déduit un nombre f tel que e•f = a•b, d'où, par la proposition 19, e:a :: b:f. Sachant que e est premier avec a, par les propositions 21 et 20, e mesure b (d'où une contradiction). C'est-à-dire qu'en démontrant la proposition 24, Euclide a démontré au passage que, si e | ab et e premier avec a, alors e | b, soit le théorème de GaussVitrac dans Ce théorème apparait déjà dans les Nouveaux éléments de mathématiques de Jean Prestet en 1689 ; celui-ci s'en sert pour démontrer le théorème fondamental de l'arithmétique ().. Euclide cependant n'explicite pas ce théorème, dont un cas particulier, dit lemme d'Euclide, est donné à la proposition 30Vitrac dans .. La proposition 25, énonce que si deux nombres sont premiers entre eux, le carré du premier est premier avec le second. La proposition 26 énonce essentiellement que si a et b sont premiers chacun avec c et d, alors a•b est premier avec c•d. À la proposition 27, Euclide déduit des deux précédentes propositions, que si deux nombres sont premiers entre eux, des puissances quelconques de ces deux nombres sont des nombres premiers entre eux. La dernière phrase de l'énoncé d'Euclide n'est pas claire : on pourrait penser, au vu de la première partie de l'énoncé, qu'Euclide ajoute la restriction, inutile, que ces puissances sont supposées identiques, mais la dernière phrase, peut-être interpolée, peut s'interpréter comme levant cette restriction, d'autant que le résultat plus général est utilisé au livre IXVitrac dans . La proposition 28 énoncé essentiellement que si a est premier avec b, alors a+b est premier avec a, et réciproquement, de même pour b. La démonstration procède par l'absurde et n'utilise pas, comme elle aurait pu le faire, la caractérisation par l'algorithme d'Euclide donnée par la proposition 1Vitrac dans ..