vignette La pondération inverse à la distance ou PID (en anglais, inverse distance weighting ou IDW) est une méthode d'interpolation spatiale, un processus permettant d'assigner une valeur à tout point d'un espace à partir d'un semis de points connus.
Une forme courante pour trouver une valeur interpolée à partir d'un point donné en utilisant la PID comme fonction d'interpolation :
où :
est une fonction simple de pondération, comme définie par Shepard, étant le point à interpoler, est un point d'interpolation (connu), la valeur de la fonction au point , est une distance donnée (opérateur de mesure) du point d'interpolation au point à interpoler , est le nombre total de points connus utilisés dans l'interpolation et est un nombre positif réel, appelé le paramètre de puissance. Ici, le poids des points voisins diminue lorsque la distance augmente. Les plus grandes valeurs de donnent une influence plus grande aux valeurs les plus proches du point interpolé. Pour , en , on observe des sommets lissés autour du point d'interpolation , alors que pour , le pic devient plus pointu. Le choix de est donc une fonction du degré de lissage désiré pour l'interpolation, de la densité et la distribution des échantillons interpolés, et de la distance maximum au-delà de laquelle un échantillon individuel peut influencer les points environnants. Telle que décrite, la fonction d'interpolation est indéterminée aux points d'interpolation (division 0/0). Dans ce cas, la pondération sera prise égale à 1 pour le point à distance 0 de x, et 0 pour tous les autres points.
Pondération de Shepard
La méthode de Shepard est une conséquence de la minimisation d'une fonction liée à la mesure des déviations entre les tuples de points interpolés et k tuples de points d'interpolation , définis comme :
dérivé de la condition de minimisation :
La méthode peut être aisément étendue à des dimensions supérieures de l'espace et est en fait une généralisation de l'approximation de Lagrange aux espaces multidimensionnels.
Une version modifiée de l'algorithme créé pour l'interpolation trivariée a été développée par Robert J. Renka et est disponible dans Netlib comme "algorithm 661" dans la bibliothèque "toms" ("Transactions On Mathematical Software").
Autres pondérations
Pondération de Łukaszyk-Karmowski
Une autre modification de la méthode de Shepard a été proposée par ŁukaszykA new concept of probability metric and its applications in approximation of scattered data sets aussi en application à la mécanique appliquée. La fonction de pondération proposée avait la forme suivante :
où est la mesure de Lukaszyk-Karmowski choisie également en fonction de l'erreur statistique et de la distribution de la probabilité de la mesure des points interpolés.
Pondération de Franke-Little
Une modification de la méthode de Shepard a été proposée par Franke, qui suggère d'utiliser :
comme fonction de pondération, où R est le rayon de la sphère d'influence, distance au-delà de laquelle les points d'interpolation n'ont plus d'effet sur la valeur interpolée. De fait, la pondération de Franke-Little rend l'interpolation locale. Il faut s'assurer de choisir R pour que suffisamment de points soient situés à l'intérieur de la sphère d'influence. L'interpolation locale permet de diminuer la quantité de calculs lorsque les points d'interpolations sont très nombreux.
Références
Voir aussi Interpolation numérique
* Catégorie:Interpolation spatiale Catégorie:Interpolation numérique Catégorie:Géostatistique