En mathématiques, et plus précisément en combinatoire, les polynômes de Bell, nommés ainsi d'après le mathématicien Eric Temple Bell, sont des polynômes multivariés définis par :
Sachant que est forcément nul pour , on peut expliciter la borne supérieure des indices :
Interprétation combinatoire
Soit un ensemble de éléments partitionné en sous-ensembles non vides, dont sous-ensembles de cardinalité 1, sous-ensembles de cardinalité 2, etc. Le nombre de telles partitions est le coefficient du monôme unitaire dans le polynôme de Bell . On notera que : par construction, on a (nombre de sous-ensembles) et (nombre total d'éléments), avec chaque positif ou nul (nombre de sous-ensembles de cardinalité ) ; par conséquent, les cardinalités des sous-ensembles forment une partition de l'entier en parties, avec la multiplicité de l'entier dans cette partition.
Exemples
On a :
car il y a : 6 partitions d'un ensemble à 6 éléments de la forme 5 + 1 ; 15 partitions de la forme 4 + 2 ; 10 partitions de la forme 3 + 3.
De même :
car il y a : 15 partitions d'un ensemble à 6 éléments de la forme 4 + 1 + 1 ; 60 partitions de la forme 3 + 2 + 1 ; 15 partitions de la forme 2 + 2 + 2.
Polynômes de Bell complets
La somme
est parfois appelée n-ème polynôme de Bell complet, et alors les polynômes B définis ci-dessus sont appelés des polynômes de Bell « partiels ». Les polynômes de Bell complets B peuvent être exprimés par le déterminant d’une matrice :
avec δ le symbole de Kronecker. La matrice dont B est le déterminant est une matrice de Hessenberg.
Table de valeurs
Le tableau suivant regroupe les premières valeurs de : 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6
Propriétés
Cas limites
avec le symbole delta de Kronecker
Séries formelles exponentielles
Puissance
Formule exponentielle
Composition Si (avec quelconque) et (avec donc ) alors
Formules de récurrence
avec .
avec .
Valeurs particulières
(nombre de Stirling de seconde espèce non signé) (nombre de Stirling de seconde espèce signé) (nombre de Bell) (nombre de Stirling de première espèce non signé) (nombre de Stirling de première espèce signé)
(nombre de Lah non signé) (nombre de Lah signé)
Type binomial
avec .
Réciproque
Soit une fonction infiniment dérivable en un point et de réciproque , alors W.-S. Chaou, Leetsch C. Hsu, Peter J.-S. Shiue, “Application of Faà di Bruno’s formula in characterization of inverse relations”, dans Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 190, 2006, p. 151–169 :
Cas particuliers
En prenant (soit ) infiniment dérivable en 0, on a :
d’où :
soit :
En prenant avec (soit ) infiniment dérivable en 1, on a :
avec la factorielle décroissante, d’où :
Composition
Soient :
(on note que )
Alors :
En posant les matrices (triangulaire supérieure) ainsi que et de manière similaire, on a alors :
Cas particuliers
En prenant et , on obtient :
En prenant et , on obtient :
En prenant et , on obtient :
En prenant et , on obtient :
Factorielle décroissante
Andrzej Korzeniowski, “Binomial Tails Domination for Random Graphs via Bell Polynomials”, dans JPSS, vol. 4, n° 1, 2006, p. 99-105 avec la factorielle décroissante.
Comportement d’échelle
Polynômes de Bell partiels
Cas général
Cas particuliers
Polynômes de Bell complets
Cas général
Cas particuliers
Autre expression
avec la factorielle décroissante.
Identité de convolution
Pour des suites xn, yn, n = 1, 2, …, on peut définir un produit de convolution par :
(les bornes de sommation étant 1 et n − 1, et non 0 et n).
Soit le n-ème terme de la suite
Alors :
Applications
Formule de Faà di Bruno
La formule de Faà di Bruno peut être énoncée à l'aide des polynômes de Bell de la manière suivante :
Moments et cumulants
Pour une variable aléatoire réelle dont le moment ordinaire d’ordre existe, on a :
avec les cumulants.
Représentations de suites polynomiales
Pour toute suite a1, a2, … de scalaires, soit :
Cette suite de polynômes est de type binomial, c'est-à-dire qu'elle satisfait l'identité binomiale suivante :
pour n ≥ 0.
En fait, on a également la réciproque :
Si nous posons
en considérant cette série comme une série formelle, alors pour tout n :
Notes et références
Louis Comtet, Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions, Reidel Publishing Company, Dordrecht-Holland/Boston-U.S., 1974 , The Umbral Calculus, Dover Publications
Articles connexes Calcul ombral Indicateur de cycles du groupe symétrique
Catégorie:Combinatoire Bell