En mathématiques, l'intégration ou calcul intégral est l'une des deux branches du calcul infinitésimal, l'autre étant le calcul différentiel.
Les intégrales sont utilisées dans de multiples disciplines scientifiques notamment en physique pour des opérations de mesure de grandeurs (longueur d'une courbe, aire, volume, flux) ou en probabilités. Ses utilités pluridisciplinaires en font un outil scientifique fondamentalAlain Michel, Constitution de la théorie de l'intégration, p. 10, .. C'est la raison pour laquelle l'intégration est souvent abordée dès l'enseignement secondaire.
Le concept d'intégrale a été introduit au par Leibniz et Newton, puis affiné pour définir et calculer l'intégrale de fonctions de moins en moins régulières. On rencontre ainsi aujourd'hui les intégrales dites de Riemann, de Lebesgue ou de Kurzweil-Henstock. Mais toutes ces définitions coïncident dans le cas des fonctions continues sur un segment.
Le symbole mathématique représentant l'intégration, le « S long » : , est appelé signe somme, signe d'intégration, signe intégral ou intégrateur ; il a été introduit par Leibniz pour noter l'intégrale.
vignette|L'intégrale de la fonction positive f, peut être interprétée comme l’aire du domaine délimité par :(1) la courbe représentative de la fonction (d'équation ), (2) l'axe des abscisses et (3-4) les droites verticales d'abscisses et .
Le présent article décrit l'intégrale de fonctions de la variable réelle. Pour les extensions aux fonctions de plusieurs variables, voir les articles Intégrale curviligne, Intégrale multiple et Intégrale de surface. Le cas général de l'intégrale des fonctions définies sur un espace mesurable muni d'une mesure positive est traité dans l'article Intégrale de Lebesgue. Une autre extension est l'intégrale des formes différentielles.
Historique
La théorie de l'intégration a beaucoup aidé les mathématiques, notammment l'analyse. Les méthodes intégrales en Grèce antique l'attestent (voir méthode d'exhaustion), et bien qu'il faille attendre le calcul infinitésimal pour une première formalisation, elles nous avaient déjà donné de très bon résultats : les Athéniens évaluèrent les grandeurs de l'espace puis en démontrèrent implicitement l'existence et l'unicité ; au naissent des méthodes générales de « calcul de l'infini » (rectification de courbes, quadratures, etc.) C'est alors que la méthode des indivisibles de Cavalieri voit le jour. gauche|vignette|Leibniz pose les bases de l'intégration au . C'est Leibniz qui introduit le fondement de la théorie de l'intégration (Geometria recondita, 1686Gottfried Wilhelm Leibniz : De geometria recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum (Calcul intégtral : De la géométrie profonde et analyse des indivisibles et de l'infini), en latin dans les Acta Eruditorum, Leipzig, 1686 (lire en ligne). Traduction française par Marc Parmentier, La naissance du calcul différentiel : 26 articles des Acta Eruditorum, Paris, Vrin, 1995, p. 126 (aperçu en ligne)..), qu'il conçoit comme opération inverse de la différentiation (Nova methodus pro maximis et minimis, 1684), d'une part par un symbolisme inégalé reliant intégration et dérivation, d'autre part par la mise en place des principaux théorèmes perpétués jusqu'à aujourd'hui.
La formalisation de cette théorie a revêtu diverses formes. Elle aboutit tardivement, à cause de la complexité des problèmes soulevés : que sont les fonctions ? les réels ? (ces questions ne furent pleinement répondu que grâce au développement de l'analyse au ) ; quelles fonctions peuvent s'intégrer ? (c'est la question de l'intégrabilité ; elle est liée, entre autres, à des problèmes de convergence).
L'intégrale de Riemann (Bernhard Riemann, 1854, publication posthume en 1867) puis l'intégrale de Lebesgue (Henri-Léon Lebesgue, 1902) ont marqué les esprits par leur formalisation aboutie. L'intégration est encore un sujet pour la recherche contemporaine ; en témoignent des extensions telles que l'intégrale d'Itō, l'intégrale de Kurzweil-Henstock, ou la récente construction de Bongiorno (1996)..
Cas particulier de la fonction continue sur un intervalle fermé Calcul d'aire thumb|upright|Représentation graphique d'un intégrande positif et de son intégrale. thumb|upright|Représentation graphique d'un intégrande réel et de son intégrale (avec signe).
Dans un plan muni d'un repère cartésien, on choisit comme unité d'aire l'aire du quadrilatère OIKJ où O est l'origine du repère et I, J et K les points de coordonnées respectives (1 ; 0), (0 ; 1) et (1 ; 1).
Si est une fonction réelle positive continue prenant ses valeurs dans un segment , alors l'intégrale de sur , notéeest l'aire d'une surface délimitée par la représentation graphique de et par les trois droites d'équation , , , surface notée . (Voir schéma ci-contre pour l'intervalle .)
thumb|upright|Quelle est l'intégrale (animation)
On donne un signe positif à l'aire des surfaces comme situées au-dessus de l'axe des abscisses. Pour pouvoir traiter aussi les fonctions négatives, on donne un signe négatif aux portions situées sous cet axe.
Ainsi, pour définir l'intégrale d'une fonction continue dans le cas général (positive ou négative), il suffit de définir et , communément appelées parties positive et négative de respectivement, comme suit :
puis de définir l'intégrale de à partir de et , fonctions continues et positives :
Plus précisément, définir l'aire de cette surface consiste, dans la définition de la théorie de Riemann, à approcher par une suite de fonctions dont on connaît l'intégrale (en général : des rectangles qu'on définit d'aire ) et telle que la différence entre et tende vers 0 quand tend vers l'infini.
Avec cette méthode, il est possible de définir l'« aire sous la courbe » d'une fonction bornée ne présentant qu'un ensemble dénombrable de points de discontinuité.
On appelle un intégrandeMot masculin, comme multiplicande, opérande, radicande., et on note ∫ (un s allongé, mis pour somme) l'opérateur mathématique, appelé intégrateur, qui est associé à l'intégration. Ce symbole est un ancien s long : en effet, Leibniz s'est servi de l'initiale du mot latin summa, « somme », lequel était le plus souvent écrit ſumma. À la différence du s long, ∫, en typographie, garde toujours une hampe descendant au-dessous de la ligne de base, en romaine comme en italique. (Voir l'article Notation de Leibniz pour une justification de la notation complète, et en particulier du symbole dx.).
Lien avec les primitives Le but du calcul intégral est de développer des méthodes permettant de calculer les intégrales. La principale méthode pour calculer une intégrale passe par la notion de primitive d'une fonction. La « primitivation » est l'opération qui, à partir d'une fonction , donne une fonction dérivable et dont la dérivée est égale à : .
On montre que toute fonction continue sur un segment admet des primitives, et que l'intégrale de à est égale à , indépendamment de la primitive choisie.
De plus, l'ensemble des primitives d'une fonction continue sur un intervalle est donné par l'ensemble de ses intégrales indéfinies
où est un point de et un réel quelconque.
Le théorème fondamental de l'analyse affirme que les deux approches de l'intégrale (« aire sous une courbe » et « primitivation »), sont sous certaines conditions les mêmes. Ces conditions peuvent varier selon le type d'intégrale considéré. Ainsi, les fonctions qui admettent des primitives presque partout, sont aussi intégrables au sens de Kurzweil-Henstock, mais pas nécessairement au sens de Riemann ou au sens de Lebesgue.
Extension de l'intégrale aux fonctions non continues sur un intervalle Différences entre l'intégration au sens de Riemann et au sens de Lebesgue Le schéma général utilisé pour construire une intégrale et qui cherche à mesurer l'aire du domaine sous la courbe est le même pour les trois approches de l'intégration : au sens de Riemann, voir Intégrale de Riemann au sens de Lebesgue, voir Intégrale de Lebesgue ou au sens de Kurzweil-Henstock, voir Intégrale de Kurzweil-Henstock.
D'abord, on considère une famille de fonctions élémentaires, pour lesquelles nous avons un moyen évident de mesurer l'aire sous la courbe. Dans le cas de l'intégrale de Riemann ou de Kurzweil-Henstock, ce sont les fonctions en escalier dont l'aire sous la courbe est égale à la somme des aires des rectangles ; les fonctions en escalier étant constantes sur des intervalles, le domaine sous la courbe d'une telle fonction peut alors être vu comme une réunion de rectangles. Pour l'intégrale de Lebesgue, les fonctions élémentaires sont les fonctions étagées, constantes, non plus sur des intervalles, mais sur des parties mesurables (approche plus souple et plus générale).
L'intégrale de Riemann permet d'intégrer entre autres les fonctions croissantes ou décroissantes, et les fonctions continues, donc aussi les fonctions continues par morceaux, ainsi que les fonctions monotones par morceaux. Toute limite uniforme d'une suite de fonctions intégrables au sens de Riemann est intégrable au sens de Riemann. Cependant une limite simple (c'est-à-dire que pour tout de l'intervalle sans condition d'uniformité en ) de fonctions Riemann intégrables n'est pas nécessairement Riemann intégrable. Il est possible de caractériser les fonctions intégrables au sens de Riemann : ce sont les fonctions bornées dont l'ensemble des points de discontinuité est de mesure nulle (critère de Lebesgue).
L'intégration au sens de Lebesgue permet d'intégrer plus de fonctions (dont des fonctions qui ne sont même pas localement bornées), et elle donne la même valeur à l'intégrale lorsque la fonction est déjà intégrable au sens de Riemann. Elle a l'avantage de munir l'espace vectoriel des fonctions intégrables (modulo l'égalité presque partout) d'une structure d'espace normé complet. Ceci est essentiel pour beaucoup d'applications. Cependant, on perd la notion de sommes de Riemann, et il existe des contextes (étude des suites uniformément distribuées par exemple) où les fonctions intégrables au sens de Riemann surviennent naturellement ; pour une généralisation de cette dernière permettant néanmoins d'intégrer également toutes les fonctions mesurables (au sens de Lebesgue), voir l'intégrale de Kurzweil-Henstock.
Cas des fonctions monotones Si sur le segment (ainsi est inclus dans ), alors nous aurons
Si l'on suppose par exemple la fonction monotone sur , il est possible d'approcher son aire en utilisant soigneusement une fonction élémentaire (dans le cas de l'intégration de Riemann ou de Kurzweil-Henstock, une fonction en escalier, et dans le cas de l'intégration de Lebesgue, une fonction étagée). Nous choisissons telle que mais en supposant très proche de , au sens où, ayant préalablement fixé un arbitrairement petit, les valeurs prises par s'éloignent de celles prises par d'au plus , ce qui se note .
L'aire sous , facilement calculable comme somme d'aires de rectangles, est majorée par l'intégrale de , et est appelée somme inférieure.
Cas des fonctions non monotones Dans le cas de l'intégrale de Riemann ou de Kurzweil-Henstock, nous fabriquons aussi des sommes supérieures de la même façon : nous choisissons une fonction en escalier, disons , telle que en supposant de la même manière très proche de , et nous considérons une somme supérieure comme un majorant de l'aire du domaine sous . Dans le cas de l'intégrale de Riemann, les rectangles utilisés ont des bases de longueur majorée par une constante ; dans le cas de l'intégrale de Kurzweil-Henstock, les rectangles ont des bases de longueur variable. La théorie de Lebesgue n'utilise pas de sommes supérieures.
On montre que l'ensemble des aires sous les fonctions que l'on peut choisir (respectivement sous les fonctions dans la théorie de Riemann ou de Kurzweil-Henstock), admet une borne supérieure (resp. inférieure, et c'est la même). Cette valeur est alors appelée intégrale de sur .