thumb|right|upright=2|Tracé de la fonction polygamma le long de l'axe des réels avec en orange m = 0, en jaune m = 1, en vert m = 2, en rouge m = 3 et en bleu m = 4. En mathématiques, la fonction polygamma d'ordre m est une fonction spéciale notéePolygamma Function sur mathworld.wolfram.com. ou et définie comme la m+ dérivée du logarithme de la fonction gamma :
. Ce qui équivaut à la dérivée m de la dérivée logarithmique de la fonction gamma :
est la fonction digamma .
La dérivée de la fonction gamma est donc .
. On appelle parfois la fonction (ou ) la fonction trigamma.
La dérivée seconde de la fonction gamma est donc .
Définition par une intégrale La fonction polygamma peut être représentée par :
Ceci n'est valable que pour et . Pour , voir la définition de la fonction digamma.
Représentation dans le plan complexe + La représentation du logarithme de la fonction gamma et des premiers ordres de la fonction polygamma dans le plan complexe est :1000x140px|none1000x140px|none1000x140px|none1000x140px|none1000x140px|none1000x140px|none......
Relation de récurrence Elle vérifie la relation de récurrence
Théorème de multiplication Le donne
valable pour ; et pour , la formule de multiplication de la fonction digamma est :
Représentation par série La fonction polygamma a pour représentation en série :
qui n'est valable que pour et pour tout complexe qui n'est pas égal à un nombre entier négatif. Cette représentation peut être écrite avec la fonction zêta de Hurwitz par
On peut en conclure que la fonction zêta de Hurwitz généralise la fonction polygamma à n'importe quel ordre appartenant à ℂ \ (–ℕ).
Série de Taylor
La série de Taylor au point est
qui converge pour . Ici, est la fonction zêta de Riemann.
Notes et références
Références Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Dover Publications, 1964 , section 6.4
Catégorie:Fonction gamma ou associée Catégorie:Fonction spéciale