La fonction polylogarithme (aussi connue sous le nom de fonction de Jonquière) est une fonction spéciale qui peut être définie pour tout et par :

Le paramètre et l'argument sont pris sur l'ensemble ℂ des nombres complexes. Les cas particuliers et sont appelés le polylogarithme d'ordre 2 ou dilogarithme et le polylogarithme d'ordre 3 ou trilogarithme respectivement. Le polylogarithme apparaît aussi dans la forme fermée de l'intégrale de la distribution de Fermi-Dirac et la distribution de Bose-Einstein et est quelquefois connue comme l'intégrale de Fermi-Dirac ou l'intégrale de Bose-Einstein.

Par prolongement analytique, on peut également donner un sens au polylogarithme pour .

+ Différentes fonctions polylogarithmes dans le plan complexe :

Propriétés

Dans le cas important où le paramètre est un nombre entier, il sera représenté par (ou lorsqu'il est négatif). Il est souvent pratique de définir où est la branche principale du logarithme naturel, c’est-à-dire . Ainsi, toute l'exponentiation sera supposée être à valeur unique. (e.g. ).

Dépendant du paramètre , le polylogarithme peut être à valeurs multiples. La branche principale du polylogarithme est celle pour laquelle est réel pour réel, et est continu excepté sur l'axe des réels positifs, où une coupure est faite de à l'infini telle que la coupure place l'axe réel sur le demi-plan le plus bas de . En termes de , ceci s'élève à . Le fait que le polylogarithme puisse être discontinu en peut causer une certaine confusion.

Pour réel et supérieur ou égal à 1, la partie imaginaire du polylogarithme est :

En traversant la coupure :

Les dérivées du polylogarithme s'expriment également avec le polylogarithme :

Valeurs particulières

Voir aussi la section « Relation de parenté avec les autres fonctions » ci-dessous.

Pour les valeurs entières de , on peut écrire les expressions explicites suivantes :

Le polylogarithme, pour toutes les valeurs entières négatives de , peut être exprimé comme une fraction rationnelle en (voir les représentations en série ci-dessus). Certaines expressions particulières pour les demi valeurs entières de l'argument sont :

où est la fonction zêta de Riemann. De plus, on a :

où est la fonction bêta de Dirichlet.

Aucune formule similaire de ce type n'est connue pour des ordres plus élevés ; par ailleurs, les seules valeurs connues de exprimables à l'aide des fonctions élémentaires sont les huit valeurs suivantes :

ainsi que ; .

Expressions alternatives

L'intégrale de la distribution de Bose-Einstein est exprimée en termes de polylogarithme :

Celle-ci converge pour et tous les excepté pour les réels et supérieurs ou égaux à 1. Le polylogarithme dans ce contexte est quelquefois connu comme l'intégrale de Bose ou de Bose-Einstein. L'intégrale de la distribution de Fermi-Dirac est aussi exprimée en termes de polylogarithme :

Celle-ci converge pour et tous les excepté pour les réels et strictement inférieurs à –1. Le polylogarithme dans ce contexte est quelquefois connu comme l'intégrale de Fermi ou l'intégrale de Fermi-Dirac. (GNU)

On a aussi la relation : où est un entier naturel non nul, sont des complexes et

Le polylogarithme peut plutôt être généralement représenté par une intégrale sur un contour de Hankel . Tant que le pôle de l'intégrande n'est pas relié à l'axe réel positif, et , on a :

où représente le contour de Hankel. L'intégrande possède une coupure le long de l'axe réel de zéro à l'infini, l'axe réel étant sur la moitié inférieure de la feuille (). Pour le cas où est réel et positif, nous pouvons simplement ajouter la contribution limitante du pôle :

où est le résidu du pôle :

La relation carrée est facilement vue à partir de l'équation (voir aussi et )

La fonction de Kummer obéit à une formule de duplication très similaire.

Relation de parenté avec les autres fonctions

Pour , le polylogarithme se réduit à la fonction zêta de Riemann

Le polylogarithme est relié à la fonction êta de Dirichlet et la fonction bêta de Dirichlet :

où est la fonction êta de Dirichlet. Pour des arguments imaginaires purs, nous avons :

où est la fonction bêta de Dirichlet. Le polylogarithme est équivalent à l'intégrale de Fermi-Dirac (GNU)

Le polylogarithme est un cas particulier de la fonction transcendante de Lerch (, § 1.11-14)

Le polylogarithme est relié à la fonction zêta de Hurwitz par la relation de Jonquière (, § 1.11) :

où est la fonction Gamma d'Euler. Ceci est valable pour et aussi pour (l'équation équivalente d', § 1.11-16 n'est pas correcte si on suppose que les branches principales du polylogarithme et le logarithme sont utilisés simultanément). Cette équation fournit le prolongement analytique de la représentation en série du polylogarithme au-delà de son cercle de convergence . En utilisant la relation entre la fonction zêta de Hurwitz et les polynômes de Bernoulli :

qui reste valable pour tous les réels et entier positif, il peut être remarqué que :

sous les mêmes contraintes sur et que ci-dessus. (L'équation correspondante d', § 1.11-18 n'est pas correcte). Pour les valeurs entières négatives du paramètre, on a pour tous les (, § 1.11-17) :

Le polylogarithme avec un imaginaire pur peut être exprimé en termes de fonctions de Clausen et (, ch. VII, § 1.4 et , § 27.8)

L'arc tangente intégral (, ch. VII, § 1.2) peut être exprimé en termes de polylogarithmes :

La fonction chi de Legendre (, ch VII, § 1.1 et ) peut être exprimée en termes de polylogarithmes :

Le polylogarithme peut être exprimé comme une série de fonctions de Debye (, § 27.1)

Une expression remarquablement similaire relie la fonction de Debye au polylogarithme :

Représentations en séries On peut représenter le polylogarithme comme une série de puissances pour comme suit . On considère la transformation de Mellin :

Le changement de variables permet à l'intégrale d'être séparée :

pour on a, à travers la transformation inverse de Mellin :

où est une constante à droite des pôles de l'intégrande.

Le chemin d'intégration peut être converti en un contour fermé, et les pôles de l'intégrande sont ceux de à et de à . Sommer les résidus donne, pour et

Si le paramètre est un entier positif , ainsi que le terme, la fonction gamma devient infinie, bien que leur somme ne l'est pas. Pour un entier , on a :

et pour :

Ainsi, pour où est un entier positif et , on a :

où est un nombre harmonique :

Le problème des termes contient maintenant qui, lorsqu'ils sont multipliés par , tendront vers zéro quand tend vers zéro, excepté pour . Ceci reflète le fait qu'il existe une vraie singularité logarithmique en en et , puisque :

En utilisant la parenté entre la fonction zêta de Riemann et les nombres de Bernoulli

on obtient pour les valeurs entières négatives de et :

puisque, excepté pour , tous les nombres de Bernoulli impairs sont égaux à zéro. On obtient le terme en utilisant . Encore, l'équation équivalent d', § 1.11-15 n'est pas correcte si on suppose que les branches principales du polylogarithme et le logarithme sont utilisées simultanément, puisque n'est pas uniformément égal à .

L'équation définie peut être étendue aux valeurs négatives du paramètre en utilisant une intégrale sur un contour de Hankel ( et ) :

où est le contour de Hankel qui peut être modifié pour qu'il entoure les pôles de l'intégrande, à , l'intégrale peut être évaluée comme la somme des résidus :

Ceci restera valable pour et tous les excepté pour .

Pour les entiers négatifs , le polylogarithme peut être exprimé comme une série impliquent les nombres eulériens

où sont les nombres eulériens.

Une autre formule explicite pour les entiers négatifs est :

où sont les nombres de Stirling de deuxième espèce.

Comportement aux limites

Les limites suivantes restent valables pour le polylogarithme :

Échelles de polylogarithmes Leonard Lewin a découvert une remarquable généralisation d'un grand nombre de relations classiques sur les polylogarithmes pour des valeurs particulières. En effet, on peut prouver par dérivation les relations suivantes pour le dilogarithme : (Euler) (Landen) En particulier, pour , on peut déduire :

De même, pour le trilogarithme, on a : (Landen) dont on peut déduire :

Les échelles de polylogarithmes apparaissent naturellement et profondément en K-théorie.

Notes et références

, § 9.553

, § 12.22 et 13.13

Bibliographie

David H. Bailey et David J. Broadhurst, « A Seventeenth-Order Polylogarithm Ladder », 1999, ,

GNU Scientific Library, Reference Manual

, § 1.2

Liens externes

Catégorie:Analyse complexe Polylogarithme