En mathématiques, un nombre premier de Ramanujan est un nombre premier qui satisfait un résultat démontré par Srinivasa Ramanujan relatif à la fonction de compte des nombres premiers.
Origines et définition En 1919, Ramanujan publia une nouvelle démonstrationS. Ramanujan, "A proof of Bertrand's postulate". Journal of the Indian Mathematical Society 11 (1919), 181–182. du postulat de Bertrand qui, dit-il, fut d'abord démontré par Tchebychev. À la fin des deux pages publiées, Ramanujan déduisit un résultat généralisé, qui est :
en particulier : pour tout () respectivement, où est la fonction de compte des nombres premiers, qui est le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à .
L'expression de ce résultat est la définition des nombres premiers de Ramanujan, et les nombres sont les plus petits entiers conformes à cette définition. Autrement dit : Le -ième premier de Ramanujan est l'entier le à satisfaire la condition : pour tout Jonathan Sondow, Ramanujan Prime from MathWorld.
Une autre façon de formuler ce résultat est : Les nombres premiers de Ramanujan sont les entiers les à garantir qu'il y a (au moins) premiers dans pour tout .
Puisque est le plus petit entier conforme à ces conditions, il doit être premier. En effet : Pour tout entier fixé, pour tout contient les mêmes entiers ; donc Or donc doit contenir plus de premiers que Mais il ne peut en contenir qu'un de plus : ce ne peut être que .
Conséquence :
Par exemple, le nombre de nombres premiers dans est trois (ce sont ). Mais n'est pas le troisième nombre de Ramanujan, car dans , il n'y a que deux nombres premiers (ce sont ). Ce n'est qu'à partir de qu'il y a toujours au moins trois nombres premiers dans , donc .
Liste de nombres premiers de Ramanujan Les plus petits termes de la suite des nombres premiers de Ramanujan sont : 2, 11, 17, 29, 41, 47, 59, 67, 71, 97, 101, 107, 127, 149, 151, 167, 179, 181, 227, 229, 233, 239, 241, 263, 269, 281, 307, 311, 347, 349, 367, 373, 401, 409, 419, 431, 433, 439, 461, 487, 491, ... ().
Inégalités et équivalences Pour tout , .
Pour tout , , où est le -ième nombre premier.
Si tend vers l'infini, est équivalent au -ième premier, :
et donc, en utilisant le théorème des nombres premiers, .
Tous ces résultats sont démontrés dans l'ouvrage "Ramanujan primes and Bertrand's postulate"J. Sondow, "Ramanujan primes and Bertrand's postulate". Amer. Math. Monthly 116 (2009), 630–635. , sauf l'inégalité ci-dessus, qui fut conjecturée par Jonathan Sondow et démontrée par Shanta Laishram en 2010.
Notes et références
Voir aussi Articles connexes Nombre premier Liste de nombres premiers
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