vignette|Deux exemples de champs scalaires représentés en tons de gris plus foncés pour les valeurs les plus hautes, et les gradients représentés par des flèches bleues : chacune pointe dans la direction où le champ scalaire croît le plus vite.
vignette|La fonction de deux variables est représentée ici par une carte thermique montrant les valeurs les plus élevées avec des couleurs chaudes, avec son gradient représenté par les flèches bleues : chacune pointe dans la direction où la température croît le plus vite.
En mathématiques et en physique, le gradient d'une fonction de plusieurs variables est un champ de vecteurs qui combine en chaque point les différentes dérivées partielles et donne ainsi à la fois la direction de la variation la plus forte localement et l’intensité de cette variation. Pour une fonction représentant l’altitude, il suit les lignes de plus grande pente (dans le sens de la montée), avec une norme égale à cette pente. Lorsque la fonction ne dépend que d’une seule variable réelle, le gradient se confond avec la dérivée usuelle, comme en météorologie où le gradient de température est assimilé au taux de variation de la température selon l'altitude.
Le gradient d’une fonction est noté ou avec l’opérateur nabla , parfois avec des flèches suscrites.
En chaque point où il est défini, le produit scalaire avec le gradient constitue la différentielle de la fonction, c’est-à-dire la partie linéaire de son développement limité à l’ordre 1. Par exemple, pour une fonction de trois variables admettant des dérivées partielles en un point , pour une petite variation , on trouve
Cette méthode permet d'approcher localement une fonction de plusieurs variables par une forme linéaire.
La notion s’étend aux fonctions réelles définies sur une variété riemannienne.
Le gradient est toujours orthogonal aux lignes de niveau ou aux isosurfaces. Il permet aussi d’exprimer des conditions d’optimisation sous contrainte et intervient dans des méthodes d’analyse numérique pour obtenir des suites minimisantes.
Motivation En physique et en analyse vectorielle, le gradient est un vecteur indiquant comment une grandeur physique varie dans l'espaceAutrement dit, quand une grandeur physique dépend aussi de variables non spatiales (par exemple, le temps), on ne tient compte dans le calcul du gradient que des variables spatiales.. Le gradient est d'une importance capitale en physique, qui l'employa avant les autres disciplines. En théorie des variations, il est aussi fondamental dans le domaine de l'optimisation ou de la résolution d'équations aux dérivées partielles.
En sciences de la Terre, le gradient est utilisé pour la variation dans toutes les directions d'un paramètre de la lithosphère, de l'hydrosphère, de l'atmosphère, ou de la biosphère. Cependant, le terme est souvent employé pour la composante dans une seule direction, comme dans le cas de la dérivée verticale d'une grandeur physique, sa dérivée par rapport à la coordonnée (altitude ou profondeur). Par exemple, le gradient géothermique est la dérivée fois , où est la température et un vecteur unitaire vertical.
Définition vignette|Le champ scalaire est représenté par la nappe orange. Le gradient de est un champ vectoriel, représenté par les flèches bleues ; chacune pointe dans la direction où croît le plus vite.
Dans un système de coordonnées cartésiennes euclidien, le gradient d'une fonction différentiable au point est le vecteur noté de composantes les (où ), les dérivées partielles de par rapport aux coordonnées, au point :
Dans un repère orthonormé, si le vecteur gradient n'est pas nul, alors il pointe dans la direction où la fonction croît le plus rapidement, et sa norme est égale au taux de croissance dans cette direction.
Les composantes du gradient de sont les coefficients des variables dans l'équation réduite de l'espace tangent au point au graphe de . Cette propriété lui permet d'être défini indépendamment du choix du système de coordonnées, en tant que champ de vecteurs dont les composantes se transforment lors du passage d'un système de coordonnées à un autre.
La généralisation du gradient aux fonctions différentiables de plusieurs variables et à valeurs vectorielles (et aux applications différentiables entre espaces euclidiens) est la matrice jacobienne. La généralisation aux fonctions entre espaces de Banach est la dérivée de Fréchet.
Notations Notation vectorielle La dérivée ou différentielle d'une fonction en un point est généralement notée : ou ou ou ou ou, abusivement puisqu'elle n'est pas infinitésimale : ou ou Le gradient d'une fonction en un point est généralement noté : ou ou ou . Le symbole ∇ est appelé nabla. Dans la littérature en anglais, ou parfois en français par commodité typographique, on préfère mettre en gras le symbole du gradient pour signifier son caractère vectoriel : ou .
Notation tensorielle En notation tensorielle, le vecteur position , contravariant, s'écrit (indice en position supérieureMalgré cette position supérieure, il s'agit bien d'un indice et non d'un exposant. Il n'y a généralement pas de confusion possible mais, en cas de besoin, toute expression élevée à une puissance est mise entre parenthèses., variant de 1 au nombre de dimensions de l'espace). Le gradient d'un champ scalaire , écrit en notation tensorielle, est covariant et s'écrit donc (indice en position inférieure). La définition du gradient s'écrit alors. : .
Avec la convention de sommation d'Einstein, la variation infinitésimale de s'écrit : .
Exemple : le gradient de température Le gradient de température, ou gradient thermique, est le gradient de la température en tant que fonction scalaire des coordonnées spatiales (lui est une fonction vectorielle de ces coordonnées).
Gradient dans une seule direction (dérivée) Supposons que l'on place une poutre rectiligne entre deux murs qui n'ont pas la même température, le mur de gauche étant le plus froid. On observe que, sur la poutre, la température varie dans le temps, et dans l'espace : elle augmente de la gauche vers la droite. À ce phénomène thermodynamique, on associe un phénomène de flux de chaleur, lui-même lié à un gradient de température, à une variation de la température le long de la poutre (cf. Conduction thermique, Loi de Fourier).
À un instant fixé, à chaque point de la poutre, on attribue une abscisse ; par exemple, à l'extrémité gauche, l'abscisse , et à l'extrémité droite, l'abscisse (longueur de la poutre). En chaque point de la poutre, on considère la température ; autrement dit, est fonction de .
Entre deux points distants d'une très petite longueur , on mesure un écart de température . Au sens usuel, le gradient (de température) est le rapport entre ces deux grandeurs :
Au sens analytique (mathématique), on parle de gradient si ce rapport admet une limite quand tend vers 0, limite notée :
On écrit la variation le long de comme l'approximation (dite du premier ordre) :
où signifie que le terme qui reste est négligeable par rapport à
Propriétés Le rapport a un signe, qui correspond à un sens. Dans notre poutre, la température augmente de gauche à droite, donc le gradient est orienté vers la droite ; l'axe des aussi est orienté de gauche à droite, donc En dimension 1, les notions de gradient et de dérivée sont équivalentes. En physique, la norme de ce gradient est homogène à une température divisée par une distance (mesurée en K·m−1, ou plus usuellement en °C·m−1).
Gradient de température dans l'espace à trois dimensions usuel En réalité, la température d'un point de la poutre varie en fonction d'un déplacement dans l'espace. On caractérise un point de l'espace par ses coordonnées cartésiennes : . « Comme » précédemment, la température est fonction des coordonnées de : .
Pour chacune de ces directions, on peut écrire une variation, dite partielle. Si, tout en étant en 3D, on ne se déplace que selon un axe, par exemple selon les ordonnées , alors on peut réécrire la même formule que précédemment sur l'accroissement de température. Cependant, pour noter la variation, on passe par l'écriture en dérivée partielle (dite ronde) plutôt que par la dérivée unidimensionnelle (dite droite). On écrit la variation le long de comme l'approximation (dite du premier ordre) :
où signifie que le terme qui reste est négligeable par rapport à
Plus généralement, on se déplace dans l'espace d'un point à un point , et la température passe de à . En première approximation, cette variation est une fonction linéaire de , et s'exprime donc comme somme algébrique des variations liées à chacune des composantes de
où signifie que le terme qui reste est négligeable par rapport à
Soit le vecteur gradient de température. On peut alors réécrire la relation précédente sous la forme :
où désigne le produit scalaire usuel sur
Propriétés Le gradient est un vecteur de même dimension que l'espace sur lequel porte la température (ici ℝ), alors que la température est à valeurs scalaires ( que la température en un point est un nombre, pas un vecteur). La direction du (vecteur) gradient définit de nouveau la direction du plus froid au plus chaud, mais cette fois en 3D. La norme du gradient de température est toujours homogène à .
Introduction par les éléments différentiels Comme pour la différentielle dont il est une variante, le gradient peut être introduit avec le vocabulaire des éléments différentiels. À titre d'exemple, examinons le problème de la variation de l'aire d'un rectangle. alt=Surface du rectangle agrandie.|vignette|250x250px|Représentation géométrique d'une différentielle
Dans le plan (), considérons un rectangle de côtés et . Sa surface est égale à ; elle dépend donc des coordonnées du point . En suivant une démarche intuitive, on convient de noter par (resp. ) une variation infinitésimale de la variable (resp. ). Lorsque le point fait un déplacement infinitésimal, la surface varie de façon infinitésimale, et on peut écrire que :
On en déduit facilement que :
Une simple application numérique où et seraient des mètres et et des centimètres illustre que est négligeable par rapport aux autres grandeurs.
On peut donner un statut mathématique précis aux notations et (qui sont des formes différentielles), et à la quantité (qui est alors du second ordre). Le calcul précédent est en fait un calcul de développement limité à l'ordre 1, faisant intervenir les dérivées premières de la fonction par rapport à ses deux variables. En négligeant , on obtient donc :
où
Bien sûr, on peut utiliser des notations un peu différentes :
où
L'intérêt d'introduire ces vecteurs pour exprimer la variation d'une fonction de plusieurs variables est de montrer que : la fonction varie le plus si le point se déplace dans la direction du vecteur gradient ; elle ne varie presque pas s'il se déplace dans toute direction perpendiculaire au gradient. En effet : « »
En électrostatique, ceci donne les courbes de même potentiel : les « équipotentielles ».
En mathématiques pures Gradient dans un espace euclidien Contexte Soient un espace vectoriel euclidien, un ouvert de , et une fonction , différentiable en un point de . On note la différentielle en de ; c'est une forme linéaire sur . On note l'image par cette différentielle d'un vecteur de .
Existence et unicité Si est muni d'un produit scalaire il existe, d'après le théorème de représentation de Riesz, un unique vecteur tel que pour tout vecteur de , , où désigne le produit scalaire sur .
Le vecteur est appelé le gradient de en , et il est noté . Il vérifie donc :
Développement limité Si une application est différentiable en un point , alors on peut écrire le développement limité de du premier ordre au voisinage de (avec la notation de Landau):
Expression canonique : avec dérivées partielles