vignette|Buste du premier siècle, probablement de Flavius Josèphe, conservé à Ny Carlsberg. |247x247px En mathématiques et en informatique, le problème de Josèphe est un problème d'élimination, conduisant à l'obtention d'un unique survivant.
Il a été énoncé sous différentes formes, mais sa première formulation est due à Flavius Josèphe dans son livre La Guerre des Juifs datant de la fin du premier siècleOn trouvera une étude historique dans ..
vignette|Illustration tirée d'un ouvrage du Japonais Matu-oka de 1808. Le problème concerne un procédé de « décimation » de 30 enfants, 15 d'un premier lit et 15 d'un deuxième pour déterminer qui héritera (donc ici ).
Problème originel Quarante et un soldats juifs (dont Flavius Josèphe), cernés par des soldats romains, décident de se suicider. Ils se mettent en cercle, et un premier soldat est choisi au hasard pour être exécuté ; puis le troisième à partir de sa gauche (ou droite) est exécuté. Tant qu'il y a des soldats, la sélection continue de la même façon. Le but est de trouver à quelle place doit se tenir un soldat pour être le dernier. Josèphe, peu enthousiaste à l'idée de mourir, parvint à trouver cette place. Quelle est-elle... ?
L'histoire se serait déroulée lors du siège de Jotapata par Vespasien, en .
Historique et variantes Le problème est mentionné chez Abraham ibn Ezra (1092-1167).
Une variante de ce problème due à Tartaglia (1500 - 1557) est le problème des 15 chrétiens et des 15 Turcs où le nombre de personnes est égal à 30 et le procédé d'élimination de 9 en 9 ; Cette variante se retrouve au Japon au début du avec une élimination de 10 en 10 (voir illustration).
Une variante intitulée « problème de Caligula » par Édouard Lucas donne lieu à des développements dans l'intermédiaire des mathématiciens à la fin du ..
Problème général Les personnes sont au nombre de , numérotés de 1 à ; les premières personnes éliminées sont celles dont le numéro est multiple d'un entier ( dans le problème originel) ; après un tour, les éliminations de en des personnes restantes se poursuivent jusqu'à ce qu'il n'en reste qu'une. On demande le numéro de cette personne ....
Voici par exemple, pour , les différents ordres d'élimination des soldats : 12345678910Ordre d'élimination64110825739 Donc .
Pour le problème originel, on a qui est donc la place prise par Flavius Josèphe.
Il est remarquable que bien que le calcul de se programme très facilement en utilisant la définition par récurrence suivante :
,
l'on ne connaisse aujourd'hui pas de formule simple pour , excepté pour .
Euler s'était déjà penché sur la question sans trouver de réponse précise en 1775.
Voici les premières valeurs de pour ; donne les valeurs pour et lit ce tableau par antidiagonales montantes. +n \ k123456711111111221212123332211344112232553412446651514577742635Suite OEIS correspondante Solution dans le cas où k = 2 Lors du premier tour complet, toutes les personnes aux positions paires sont éliminées. Au deuxième tour, la nouvelle est éliminée, puis la nouvelle , etc.
Si le nombre initial de personnes est pair, alors la personne à la position au est à la position au (peu importe la valeur de ). Donc, la personne à la position était auparavant à la position . Cela nous permet de trouver la de récurrence :
.
Si le nombre initial de personnes est impair, il vaut mieux voir la personne à la position 1 comme éliminée à la fin du . Pendant le , la personne à la est éliminée, puis la , etc. Dans ce cas, la personne à la position était auparavant à la position . Cela nous permet de trouver la de récurrence :
.
On peut réunir les deux formules en : , avec .
Les valeurs tabulées de et font apparaître un schéma : 123456789101112131415161131357135791113151 Les forment une suite de valeurs impaires croissantes qui recommence à 1 lorsque est une puissance de 2.
Si nous choisissons et de façon que et , alors . Les valeurs de la table respectent cette relation. De même, après exécutés, il ne reste que personnes et nous allons à la personne. Elle est la dernière restante. Donc .
On peut écrire ce résultat sous la forme close : .
Cas général En numérotant les positions de 0 à , on a la formule de récurrence permettant d'obtenir :
avec
Elle apparaît lorsque nous observons comment le nombre de personnes non éliminées change en passant de à .
Avec une programmation dynamique, elle a un temps d'exécution asymptotique en .
Pour de petites valeurs de et de grandes valeurs de , il existe une autre approche qui a aussi recours aux principes de la programmation dynamique, mais a un temps d'exécution asymptotique de . Elle s'appuie sur l'idée d'éliminer la , 2..., personne d'un seul coup, puis de changer la numérotation .
Crible de (Flavius) Josèphe Stanislas Ulam a inventé avec d'autres mathématiciens, dans les années cinquante, un crible, ressemblant au crible d’Ératosthène, consistant en une élimination dans l'ensemble de tous les entiers naturels non nuls, avec des passages successifs d'éliminations de en , où est la valeur d'un entier non éliminé déterminé. Pour cette raison, il a baptisé ce crible "crible de Flavius Josèphe"...
Description du crible Dans la liste des entiers naturels non nuls, on barre un nombre sur 2 en commençant par barrer le deuxième :
Puis dans la liste restante, on barre un nombre sur 3 en commençant par barrer le troisième.
Puis on barre un nombre sur 4, un nombre sur 5, etc. Et ceci à l'infini, ce qui donne la liste : 1, 3, 7, 13, 19, 27, 39, 49, 63, 79...
Elle est répertoriée comme .
Ce qui est remarquable est que le -ième nombre restant est équivalent à et que le nombre de nombres restants inférieurs à équivaut à .
Autres cribles similaires Un autre crible imaginé par Ulam et ses compères, semblable mais donnant des résultats différents, est celui dont les survivants sont les nombres chanceux.
Un troisième crible du même type est celui dit de Tchoukaillon, voir la , et un quatrième est celui donnant les nombres pseudo-chanceux, voir la .
Notes et références
Voir aussi Liens externes Josephus Flavius Game (applet Java), sur cut-the-knot
Bibliographie , chap. 14 (« Augmenting Data Structures »), p. 318
Catégorie:Mathématiques récréatives Catégorie:Théorie des cribles Catégorie:Flavius Josèphe