En mathématiques, une fonction de référence est une fonction étudiée pour sa simplicité, son exemplarité ou afin de servir de support à l'étude d'une famille plus large de fonctions.
thumb|alt=Fonctions carré, sinus et inverse|right|upright=2|Trois fonctions de référence
Les fonctions de référence les plus fréquemment étudiées sont les fonctions affines, fonctions puissances (notamment la fonction carré, parfois étendue à l'ensemble des fonctions du second degré), les fonctions trigonométriques (cosinus, sinus), etc.
Décomposition en fonctions de référence
Principe
Il est possible de décomposer certaines fonctions en fonctions de référence, en exprimant cette fonction comme la somme ou la composée de fonctions de référence. On peut ensuite utiliser les théorèmes relatifs à la composée et à la somme de deux fonctions pour connaître les propriétés de la fonction étudiée.
Exemple
Considérons la fonction définie sur par :
Il est possible de la décomposer en fonctions de référence ainsi :
où est la fonction inverse, la fonction carré et la fonction racine carrée.
Utilisations
Dérivation
Principe
On peut calculer la dérivée d'une fonction en la décomposant en fonctions de référence, en utilisant les propriétés des opérations sur les dérivées, à savoir, entre autres, pour toutes fonctions et dérivables sur un intervalle :
et pour toute fonction dérivable sur et toute fonction dérivable sur
Par exemple, la fonction définie sur par :
se décompose en fonctions de référence ainsi :
Avec : d'où d'où d'où
D'où :
Intégration
Principe
On peut calculer l'intégrale d'une fonction f sur un intervalle en la décomposant en fonctions de référence dont on connait l'intégrale, puis en appliquant les propriétés des intégrales, à savoir :
En revanche, cette méthode ne s'applique pas aux fonctions composées.
Fonctions associées à une fonction de référence
Principe Une fonction est dite associée à une fonction de référence dès qu'elle est obtenue par composées de cette fonction avec des fonctions affines.
Exemples
Toute fonction du second degré est une fonction associée à la fonction carré. La fonction définie sur par est associée à la fonction inverse. La fonction définie sur par est associée à la fonction racine carrée.
Voir aussi
Articles connexes
Fonction numérique Composition de fonctions Étude de fonction Fonction élémentaire
Liens externes
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